التوزيع القياسي

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 4, 2023 احتمالا 0 Comments

تشرح هذه المقالة ما هو التوزيع الطبيعي القياسي وفيم يستخدم. ستجد أيضًا خصائص التوزيع الطبيعي القياسي، والجدول بقيمه المميزة، بالإضافة إلى تمرين تم حله.

ما هو التوزيع الطبيعي القياسي؟

التوزيع الطبيعي القياسي ، ويسمى أيضًا التوزيع الطبيعي للوحدة ، هو أبسط حالة للتوزيع الطبيعي. بتعبير أدق، التوزيع الطبيعي القياسي هو توزيع طبيعي بقيم متوسط وانحراف معياري يساوي 0 و1 على التوالي.

لذلك، يتم تعريف التوزيع الطبيعي القياسي على أنه N(0,1)، حيث تكون المعلمة الأولى هي متوسط التوزيع والمعلمة الثانية هي انحرافه المعياري (أو SD).

$\displaystyle N(0,1) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\begin{cases} \mu=0\\[2ex]\sigma=1\end{cases}$

وبالتالي فإن الرسم البياني للتوزيع الطبيعي القياسي هو كما يلي:

صيغة للتوزيع الطبيعي القياسي

لتحويل أي توزيع طبيعي إلى توزيع طبيعي قياسي، يجب طرح متوسط التوزيع الطبيعي من جميع قيمه ثم القسمة على الانحراف المعياري للتوزيع الطبيعي.

وبالتالي فإن صيغة التوزيع الطبيعي القياسي هي كما يلي:

وبهذه الطريقة يكون الوسط الحسابي والانحراف المعياري للمتغير الجديد 0 و1 على التوالي، وبذلك نحصل على توزيع طبيعي معياري. وتسمى هذه العملية أيضًا بالتطبيع أحادي المتغير أو التطبيع أحادي المتغير .

جدول التوزيع الطبيعي القياسي

جدول التوزيع الطبيعي القياسي هو جدول يحتوي على احتمالات أن تكون القيمة المرصودة أقل من قيمة معينة للتوزيع الطبيعي القياسي.

بالإضافة إلى ذلك، بما أن دالة التوزيع الطبيعي تعتمد على متوسطها وانحرافها المعياري، يتم استخدام جدول التوزيع الطبيعي القياسي أيضًا، على سبيل المثال، لتحديد احتمالات أي توزيع طبيعي. للقيام بذلك، يتم كتابة التوزيع الطبيعي في التوزيع الطبيعي القياسي ثم ننظر في الجدول إلى الاحتمال الذي يتوافق معه.

لذا فإن القيم الموجودة في جدول التوزيع الطبيعي القياسي هي كما يلي:

مثال على التوزيع الطبيعي القياسي

الآن بعد أن عرفنا تعريف التوزيع الطبيعي القياسي وما هي صيغته، فيما يلي مثال ملموس لفهم المفهوم جيدًا.

متغير عشوائي مستمر يتبع توزيعا طبيعيا بمتوسط 45 وانحراف معياري 15، ما احتمال الحصول على قيمة أقل من أو تساوي 58؟

$N(45,15)\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P[X\leq 58]= \ \color{orange}\bm{?}\color{black}$

للعثور على احتمال التوزيع الطبيعي، نحتاج إلى استخدام جدول الميزات الخاص به، ولكن للقيام بذلك، نحتاج أولاً إلى إجراء عملية الكتابة للحصول على التوزيع الطبيعي القياسي. لذلك نستخدم صيغة التوزيع الطبيعي القياسية:

$Z=\cfrac{X-\mu}{\sigma}$

لذلك نطرح المتوسط من قيمة الاحتمال ثم نقسمه على الانحراف المعياري

$\displaystyle P[X\leq 58]=P\left[Z\leq\frac{58-45}{15}\right]=P[Z\leq 0,87]$

بمجرد توحيد المتغير، نذهب إلى جدول احتمالية التوزيع الطبيعي القياسي (انظر أعلاه) لمعرفة الاحتمال الذي تتوافق معه قيمة 0.87:

$\displaystyle P[Z\leq 0,87]=0,8078$

وبالتالي فإن احتمال الحصول على قيمة تساوي أو أقل من 58 هو 80.78%.

خصائص التوزيع الطبيعي القياسي

التوزيع الطبيعي القياسي له الخصائص التالية:

التوزيع الطبيعي القياسي هو توزيع متماثل يتمركز حول 0.
مثل التوزيع الطبيعي، يكون الرسم البياني للتوزيع الطبيعي القياسي على شكل جرس، حيث تقع معظم مساحة الرسم البياني حول المتوسط.
ولذلك، فإن المتوسط والمنوال والوسيط للتوزيع الطبيعي لهما نفس القيمة، وهي 0.
التوزيع الطبيعي القياسي له حد أقصى عند z=0.
وبالمثل، فإن التوزيع الطبيعي القياسي له نقطتي انعطاف، عند z=-1 وz=+1.
وفقًا للقاعدة العامة، نعلم أن 68% من القيم تقع في التوزيع الطبيعي القياسي بين +1 و-1، و95% من القيم بين +2 و-2 و99.7% من القيم بين + 3 و – 3.

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر