شرط الـ 10% في الإحصاء: تعريف ومثال

تجربة برنولي هي تجربة ذات نتيجتين محتملتين فقط – “النجاح” أو “الفشل” – واحتمال النجاح هو نفسه في كل مرة يتم فيها إجراء التجربة.

مثال على مقال برنولي هو رمي العملة. لا يمكن للعملة أن تستقر إلا على وجهين (قد نطلق على الصورة “ضربة” والوجه “فشل”) واحتمال النجاح في كل رمية هو 0.5، على افتراض أن العملة عادلة.

في كثير من الأحيان، في الإحصاء، عندما نريد حساب الاحتمالات التي تتضمن أكثر من عدد قليل من تجارب برنولي، نستخدم التوزيع الطبيعي كتقريب. ومع ذلك، للقيام بذلك يجب أن نفترض أن المحاكمات مستقلة.

في الحالات التي لا تكون فيها التجارب مستقلة حقًا، يمكننا دائمًا افتراض أنها كذلك إذا كان حجم العينة التي نعمل معها لا يتجاوز 10% من حجم السكان. وهذا ما يسمى شرط 10% .

شرط 10%: طالما أن حجم العينة أقل من أو يساوي 10% من حجم السكان، فيمكننا دائمًا افتراض أن اختبارات برنولي مستقلة.

الحدس وراء شرط 10٪

لتطوير الحدس وراء شرط 10٪، فكر في المثال التالي.

افترض أن النسبة الحقيقية للطلاب في فصل معين الذين يفضلون كرة القدم على كرة السلة هي 50%. دع المتغير العشوائي X هو عدد الطلاب الذين تم اختيارهم عشوائيًا في 4 تجارب والذين يفضلون كرة القدم على كرة السلة. لنفترض أننا نريد أن نفهم احتمال أن الطلاب الأربعة الذين تم اختيارهم عشوائيًا يفضلون كرة القدم على كرة السلة.

إذا كان حجم الفصل لدينا هو 20 طالبًا وكانت تجاربنا مستقلة (على سبيل المثال، يمكننا أخذ عينات متكررة من جميع الطلاب العشرين)، فيمكن حساب احتمال تفضيل كل طالب لكرة القدم على كرة السلة على النحو التالي:

P(الطلاب الأربعة يفضلون كرة القدم) = 10/20 * 10/20 * 10/20 * 10/20 = .0625 .

ومع ذلك، إذا لم تكن تجاربنا مستقلة (على سبيل المثال، بمجرد أخذ عينة من أحد الطلاب، فلا يمكن إعادته إلى الفصل)، فسيتم حساب احتمال تفضيل جميع الطلاب الأربعة لكرة القدم على النحو التالي:

ع(الطلاب الأربعة يفضلون كرة القدم) = 10/20 * 9/19 * 8/18 * 7/17 = 0.0433 .

وهذان الاحتمالان مختلفان للغاية. ضع في اعتبارك أنه في هذا المثال، حجم العينة (4 طلاب) لا يقل عن أو يساوي 10% من السكان (20 طالبًا)، لذلك لن نتمكن من استخدام شرط 10%.

ومع ذلك، خذ بعين الاعتبار الجدول التالي الذي يوضح احتمالية تفضيل الطلاب الأربعة الذين تم اختيارهم عشوائيًا لكرة القدم، بناءً على حجم الفصل:

مع انخفاض حجم العينة بالنسبة لحجم السكان (على سبيل المثال “حجم الفصل” في هذا المثال)، فإن الاحتمال المحسوب بين التجارب المستقلة والتجارب غير المستقلة يقترب أكثر فأكثر.

لاحظ أنه عندما يكون حجم العينة 10% بالضبط من حجم السكان، يكون الفرق بين احتمالات التجارب المستقلة والتجارب غير المستقلة متشابهًا نسبيًا.

وعندما يكون حجم العينة أقل بكثير من 10% من حجم السكان (على سبيل المثال، 0.4% فقط من حجم السكان في الصف الأخير من الجدول)، تكون الاحتمالات بين التجارب المستقلة وغير المستقلة قريبة للغاية.

خاتمة

ينص شرط 10% على أن حجم العينة يجب أن يكون أقل من أو يساوي 10% من حجم السكان لكي نفترض بأمان أن مجموعة تجارب برنولي مستقلة.

بالطبع، من الأفضل أن يكون حجم العينة لدينا أقل بكثير من 10% من حجم السكان حتى تكون استنتاجاتنا حول السكان دقيقة قدر الإمكان. على سبيل المثال، نفضل أن يكون حجم العينة 5% فقط من السكان بدلاً من 10%.

مصادر إضافية

مقدمة للتوزيع الطبيعي
مقدمة للتوزيع ذي الحدين
مقدمة لنظرية الحد المركزي