العمليات مع الأحداث

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 6, 2023 احتمالا 0 Comments

نوضح هنا ما هي العمليات التي يمكن تنفيذها مع الأحداث وكيفية حساب كل نوع من العمليات مع الأحداث. بالإضافة إلى ذلك، يمكنك التدرب على العمليات مع الأحداث خطوة بخطوة.

أنواع العمليات مع الأحداث

في نظرية الاحتمالات هناك ثلاثة أنواع من العمليات مع الأحداث، وهي:

اتحاد الأحداث : هو احتمال وقوع حدث أو آخر.
تقاطع الأحداث : هذا هو الاحتمال المشترك لحدثين أو أكثر.
فرق الحدث : هذا هو احتمال وقوع حدث واحد وعدم وقوع حدث آخر في نفس الوقت.

من خلال تحديد كل نوع من عمليات الحدث ببساطة، من الصعب فهم كيفية تنفيذ كل نوع من العمليات. ولذلك، سنشرح العمليات الثلاث بمزيد من التفصيل أدناه.

اتحاد الأحداث

اتحاد الحدثين A وB هو احتمال وقوع الحدث A أو الحدث B أو كلا الحدثين في نفس الوقت.

رمز اتحاد حدثين مختلفين هو حرف U، لذلك يتم التعبير عن اتحاد حدثين بواسطة حرف U وسط الحرفين اللذين يمثلان الحدثين.

$A\cup B$

احتمال اتحاد حدثين يساوي مجموع احتمال وقوع كل حدث مطروحًا منه احتمال تقاطع الحدثين.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

على سبيل المثال، سوف نقوم بحساب احتمالية الأحداث “ظهور رقم زوجي” أو “ظهور رقم أكبر من 4” عند رمي حجر النرد.

هناك ثلاثة احتمالات للحصول على رقم زوجي عند رمي النرد (2، 4، 6)، وبالتالي فإن احتمال وقوع الحدث هو:

$A=\{2,4,6\}$

$P(A)=\cfrac{3}{6}=0,5$

من ناحية أخرى، هناك رقمان فقط أكبر من أربعة (5 و 6)، وبالتالي فإن احتمالهما هو:

$B=\{5,6\}$

$P(B)=\cfrac{2}{6}=0,33$

وتقاطع الحدثين يتوافق مع الأعداد التي تظهر في كلا الحدثين، لذلك:

$A\cap B=\{6\}$

$P(A\cap B)=\cfrac{1}{6}=0,167$

باختصار، من خلال ضم الحدثين (أ) و (ب)، فإن احتمال حدوثهما سيكون:

$\begin{aligned}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5+0,33-0,167\\[2ex] &=0,67\end{aligned}$

تقاطع الأحداث

تقاطع الحدثين A وB هو احتمال وقوع الحدثين A وB في نفس الوقت.

يتم تمثيل رمز تقاطع حدثين بواسطة حرف U مقلوب.

$A\cap B$

احتمال تقاطع حدثين يساوي حاصل ضرب احتمالات كل حدث على حدة.

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

من الواضح أنه لحساب احتمال تقاطع حدثين، يجب أن يكون هذين الحدثين متوافقين.

➤ انظر: ما هي الأحداث المتوافقة؟

على سبيل المثال، سنجد احتمال تقاطع حدثي “الحصول على رقم زوجي” و “الحصول على رقم أكبر من 4” أثناء رمي النرد.

كما حسبنا أعلاه، فإن احتمال وقوع كل حدث على حدة هو:

$A=\{2,4,6\}$

$P(A)=\cfrac{3}{6}=0,5$

$B=\{5,6\}$

$P(B)=\cfrac{2}{6}=0,33$

وبالتالي يكون احتمال تقاطع الحدثين هو ضرب احتمالات كل حدث:

$\begin{aligned}P(A\cap B)& =P(A)\cdot P(B)\\[2ex] & =0,5\cdot 0,33\\[2ex] &=0,167\end{aligned}$

اختلاف الاحداث

الفرق بين حدثين A ناقص B يتوافق مع جميع الأحداث الأولية لـ A التي ليست في B. وبعبارة أخرى، في الفرق بين حدثين A ناقص B، يكون الحدث A محققًا ولكن الحدث B لا يمكن أن يتحقق في وقت واحد.

$A-B$

احتمال الاختلاف بين الحدثين A وB يساوي احتمال وقوع الحدث A مطروحًا منه احتمال وقوع الأحداث الأولية المشتركة بين A وB.

$P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$

وبنفس المثال كما في النوعين السابقين من العمليات، سنحدد احتمالية حدوث ذلك من فرق حدث “الحصول على رقم زوجي” ناقص “الحصول على رقم أكبر من 4” عند رمي النرد.

احتمالات وقوع الأحداث A وB وتقاطعهما هي كما يلي (يمكنك الاطلاع على الحساب التفصيلي أعلاه):

$A=\{2,4,6\}$

$P(A)=\cfrac{3}{6}=0,5$

$B=\{5,6\}$

$P(B)=\cfrac{2}{6}=0,33$

$A\cap B= \{6\}$

$P(A\cap B)=\cfrac{1}{6}= 0,167$

وبالتالي فإن احتمال الفرق بين الحدثين الظاهرين هو:

$\begin{aligned}P(A-B)&=P(A)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5-0,167\\[2ex] & =0,33\end{aligned}$

ومن باب الفضول، فإن اختلاف الأحداث AB له خاصية أن يكون أيضًا معادلاً للتقاطع بين الحدث A والحدث المكمل (أو المعاكس) للحدث B.

$A-B=A\cap\overline{B}$

➤ انظر: ما هو الحدث التكميلي؟

حل تمارين على العمليات مع الأحداث

التمرين 1

إذا ألقيت حجر نرد ذي ستة أوجه، ما احتمال الحصول على رقم فردي أو رقم أقل من ٣؟

انظر الحل

في هذا التمرين يجب علينا حساب احتمال وقوع حدث أو آخر، لذلك يجب علينا إيجاد احتمال اتحاد الحدثين.

لذلك نقوم أولاً بحساب احتمال الحصول على عدد فردي من خلال تطبيق قانون لابلاس:

$P(\text{n\'umero impar})=\cfrac{3}{6}=0,5$

ثانياً: نحدد احتمال الحصول على رقم أقل من 3:

$P(\text{n\'umero menor que 3})=\cfrac{2}{6}=0,33$

الآن دعونا نحسب احتمال تكرار الأحداث الأولية في الأحداث، وهو الرقم 1 فقط (الرقم الفردي فقط أقل من 3):

$P(\text{n\'umero impar y menor que 3})=\cfrac{1}{6}=0,167$

وأخيرًا، نطبق صيغة اتحاد حدثين لمعرفة احتمالهما:

$\begin{aligned}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5+0,33-0,167\\[2ex] &=0,67\end{aligned}$

تمرين 2

في صندوق، نضع 3 كرات برتقالية وكرتين زرقاء و5 كرات بيضاء. نجري تجربة عشوائية تتمثل في التقاط كرة وإعادتها إلى الصندوق ثم إخراج كرة أخرى. ما احتمال سحب كرة زرقاء في الأولى وكرة برتقالية في الثانية؟

انظر الحل

لحل هذه المشكلة، يجب علينا حساب تقاطع الحدثين، لأننا نريد أن يكون كلا الحدثين الأوليين صحيحين.

لذلك نحسب أولاً احتمال التقاط كرة زرقاء بتطبيق قاعدة لابلاس:

$P(\text{sacar bola azul})=\cfrac{2}{3+2+5}=0,2$

ثم نجد احتمال الحصول على كرة برتقالية:

$P(\text{sacar bola naranja})=\cfrac{3}{3+2+5}=0,3$

وأخيرًا، نحسب احتمال تقاطع الحدثين بضرب الاحتمالين الموجودين:

$\begin{aligned}P(A\cap B)& =P(A)\cdot P(B)\\[2ex] & =0,2\cdot 0,3\\[2ex] &=0,06\end{aligned}$

في الختام، هناك فرصة 6% فقط لالتقاط كرة زرقاء في المحاولة الأولى وكرة برتقالية في المحاولة الثانية.

التمرين 3

احتمال اجتياز مارتا لامتحان هو 1/3 واحتمال اجتياز خوان للامتحان نفسه هو 2/5. ما احتمال نجاح مارتا وفشل خوان؟

انظر الحل

في هذا التمرين، نحتاج إلى حساب الفرق بين الحدثين، لأننا نريد موافقة مارتا وليس خوان. للقيام بذلك، ما عليك سوى استخدام الصيغة لهذا النوع من العمليات مع الأحداث:

$\begin{array}{l}\displaystyle A-B =A\cap\overline{B}=\\[2ex]\displaystyle =\frac{1}{3}\cdot \left(1-\frac{2}{5}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}=\\[3ex] =\cfrac{3}{15} = 0,2\end{array}$

وبالتالي فإن احتمال نجاح مارتا وفشل خوان في نفس الوقت هو 20%.

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر

أنواع العمليات مع الأحداث

اتحاد الأحداث

تقاطع الأحداث

اختلاف الاحداث

حل تمارين على العمليات مع الأحداث

التمرين 1

تمرين 2

التمرين 3

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

Add a Comment