فهم فرضية العدم للانحدار الخطي

الانحدار الخطي هو أسلوب يمكننا استخدامه لفهم العلاقة بين واحد أو أكثر من متغيرات التوقع ومتغير الاستجابة .

إذا كان لدينا متغير توقع واحد فقط ومتغير استجابة واحد، فيمكننا استخدام الانحدار الخطي البسيط ، والذي يستخدم الصيغة التالية لتقدير العلاقة بين المتغيرات:

ŷ = β ₀ + β ₁ س

ذهب:

• ŷ: قيمة الاستجابة المقدرة.
• β ₀ : القيمة المتوسطة لـ y عندما تكون x صفراً.
• β ₁ : متوسط التغير في y المرتبط بزيادة وحدة واحدة في x.
• x: قيمة المتغير التنبؤي.

يستخدم الانحدار الخطي البسيط الفرضيات الفارغة والبديلة التالية:

• ح ₀ : β ₁ = 0
• ح _أ : β ₁ ≠ 0

تنص الفرضية الصفرية على أن المعامل β ₁ يساوي الصفر. بمعنى آخر، لا توجد علاقة ذات دلالة إحصائية بين المتغير المتنبئ x ومتغير الاستجابة y.

تنص الفرضية البديلة على أن β ₁ لا يساوي الصفر. بمعنى آخر، هناك علاقة ذات دلالة إحصائية بين x و y.

إذا كان لدينا متغيرات توقع متعددة ومتغير استجابة، فيمكننا استخدام الانحدار الخطي المتعدد ، والذي يستخدم الصيغة التالية لتقدير العلاقة بين المتغيرات:

ŷ = β ₀ + β ₁ × ₁ + β ₂ × ₂ + … + β _ك × _ك

ذهب:

• ŷ: قيمة الاستجابة المقدرة.
• β ₀ : القيمة المتوسطة لـ y عندما تكون جميع متغيرات التوقع مساوية للصفر.
• β _i : متوسط التغير في y المرتبط بزيادة وحدة واحدة في x _i .
• x _i : قيمة المتغير المتوقع x _i .

يستخدم الانحدار الخطي المتعدد الفرضيات الفارغة والبديلة التالية:

• ح ₀ : β ₁ = β ₂ = … = β _k = 0
• ح _أ : β ₁ = β ₂ = … = β _ك ≠ 0

تنص الفرضية الصفرية على أن جميع المعاملات في النموذج تساوي الصفر. بمعنى آخر، لا يوجد لأي من متغيرات التوقع علاقة ذات دلالة إحصائية مع متغير الاستجابة y.

تنص الفرضية البديلة على أن المعاملات ليست كلها تساوي الصفر في وقت واحد.

توضح الأمثلة التالية كيفية تحديد ما إذا كان سيتم رفض فرضية العدم أم لا في الانحدار الخطي البسيط ونماذج الانحدار الخطي المتعددة.

المثال 1: الانحدار الخطي البسيط

لنفترض أن الأستاذ يريد استخدام عدد الساعات المدروسة للتنبؤ بدرجة الامتحان التي سيحصل عليها الطلاب في فصله. يقوم بجمع بيانات من 20 طالبًا ويناسب نموذج الانحدار الخطي البسيط.

توضح لقطة الشاشة التالية نتيجة نموذج الانحدار:

نموذج الانحدار الخطي البسيط المجهز هو:

درجة الامتحان = 67.1617 + 5.2503*(ساعات الدراسة)

لتحديد ما إذا كانت هناك علاقة ذات دلالة إحصائية بين ساعات الدراسة ودرجة الامتحان، نحتاج إلى تحليل قيمة F الإجمالية للنموذج والقيمة p المقابلة:

• القيمة F الإجمالية: 47.9952
• القيمة P: 0.000

وبما أن هذه القيمة p أقل من 0.05، فيمكننا رفض فرضية العدم. بمعنى آخر، توجد علاقة ذات دلالة إحصائية بين ساعات الدراسة ودرجات الامتحانات.

المثال 2: الانحدار الخطي المتعدد

لنفترض أن الأستاذ يريد استخدام عدد الساعات المدروسة وعدد الاختبارات الإعدادية التي تم إجراؤها للتنبؤ بالصف الذي سيحصل عليه الطلاب في فصله. يقوم بجمع بيانات من 20 طالبًا ويناسب نموذج الانحدار الخطي المتعدد.

توضح لقطة الشاشة التالية نتيجة نموذج الانحدار:

نموذج الانحدار الخطي المتعدد المجهز هو:

درجة الامتحان = 67.67 + 5.56*(ساعات الدراسة) – 0.60*(الاختبارات الإعدادية التي تم إجراؤها)

لتحديد ما إذا كانت هناك علاقة ذات دلالة إحصائية بين متغيري التوقع ومتغير الاستجابة، نحتاج إلى تحليل قيمة F الإجمالية للنموذج وقيمة p المقابلة:

• القيمة F الإجمالية: 23.46
• القيمة P: 0.00

وبما أن هذه القيمة p أقل من 0.05، فيمكننا رفض فرضية العدم. بمعنى آخر، ساعات الدراسة والامتحانات التحضيرية لها علاقة ذات دلالة إحصائية بنتائج الامتحان.

ملحوظة: على الرغم من أن القيمة p للامتحانات الإعدادية التي تم إجراؤها (p = 0.52) ليست كبيرة، إلا أن الامتحانات التحضيرية مقترنة بساعات الدراسة لها علاقة كبيرة بنتائج الامتحان.

مصادر إضافية

فهم اختبار F للأهمية الشاملة في الانحدار
كيفية قراءة وتفسير جدول الانحدار
كيفية الإبلاغ عن نتائج الانحدار
كيفية تنفيذ الانحدار الخطي البسيط في إكسيل
كيفية تنفيذ الانحدار الخطي المتعدد في إكسيل