القاعدة العامة للضرب (شرح وأمثلة)

تنص القاعدة العامة للضرب على أنه يمكن حساب احتمال وقوع أي حدثين، A وB، على النحو التالي:

ف(أ وب) = ف(أ) * ف(ب|أ)

الشريط العمودي | يعني “أعطى”. وبالتالي، يمكن قراءة P(B|A) على أنها “احتمال حدوث B، بشرط حدوث A.”

إذا كان الحدثان A وB مستقلين، فإن P(B|A) يساوي ببساطة P(B) ويمكن تبسيط القاعدة على النحو التالي:

ف(أ وب) = ف(أ) * ف(ب)

دعونا نراجع بعض الأمثلة على الأحداث المستقلة والتابعة لنرى كيف يمكننا تطبيق قاعدة الضرب العامة هذه عمليًا.

قاعدة الضرب العامة للأحداث التابعة

توضح الأمثلة التالية كيفية استخدام قاعدة الضرب العامة للعثور على الاحتمالات المتعلقة بحدثين تابعين. في كل مثال، يتأثر احتمال وقوع الحدث الثاني بنتيجة الحدث الأول.

مثال 1: الكرات في الجرة

تحتوي الجرة على 4 كرات حمراء و 3 كرات خضراء. سيختار بوب كرتين من الجرة بشكل عشوائي، دون استبدالهما. ما هو احتمال أن يختار كرتين حمراء؟

الحل: احتمال أن يختار كرة حمراء في المحاولة الأولى هو 4/7. بمجرد إزالة هذه الكرة، فإن احتمال اختيار كرة حمراء في المحاولة الثانية هو 3/6. لذلك يمكن حساب احتمال اختيار كرتين حمراء على النحو التالي:

P (كلاهما أحمر) = 4/7 * 3/7 ≈ 0.2249

مثال 2: البطاقات في سطح السفينة

تحتوي مجموعة البطاقات على 26 بطاقة سوداء و26 بطاقة حمراء. ستختار ديبي بطاقتين بشكل عشوائي من المجموعة، دون استبدالهما. ما هو احتمال أن تختار بطاقتين حمراء؟

الحل: احتمال حصولها على البطاقة الحمراء في المحاولة الأولى هو 26/52. بمجرد إزالة هذه البطاقة، يكون احتمال اختيارها لبطاقة حمراء في المحاولة الثانية هو 25/51. لذلك يمكن حساب احتمال حصولها على بطاقتين حمراء على النحو التالي:

P (كلاهما أحمر) = 26/52 * 25/51 ≈ 0.2451

قاعدة الضرب العامة للأحداث المستقلة

توضح الأمثلة التالية كيفية استخدام قاعدة الضرب العامة للعثور على الاحتمالات المتعلقة بحدثين مستقلين. في كل مثال، لا يتأثر احتمال وقوع الحدث الثاني بنتيجة الحدث الأول.

مثال 1: رمي قطعتين من العملات المعدنية

لنفترض أننا رسمنا عملتين معدنيتين. ما هو احتمال ظهور القطعتين على شكل وجه؟

الحل: احتمال ظهور العملة الأولى على الوجه هو 1/2. بغض النظر عن الجانب الذي ستستقر عليه العملة الأولى، فإن احتمال سقوط العملة الثانية على الوجه هو أيضًا 1/2. وبالتالي، يمكن حساب احتمالية ظهور القطعتين على النحو التالي:

P (كلا الأرض على الرؤوس) = 1/2 * 1/2 = 0.25

مثال 2: رمي حجري نرد

لنفترض أننا نرمي حجري نرد في وقت واحد. ما هو احتمال أن يستقر كلا النردين على الرقم 1؟

الحل: احتمال سقوط حجر النرد الأول على الرقم “1” هو 1/6. وبغض النظر عن الجانب الذي يقع عليه حجر النرد الأول، فإن احتمالية وصول حجر النرد الثاني إلى الرقم “1” هو أيضًا 1/6. لذا يمكن حساب احتمالية هبوط كلا النردين على الرقم “1” على النحو التالي:

P(كلاهما يقعان على “1”) = 1/6 * 1/6 = 1/36 ≈ 0.0278