التجارب ذات الحدين: شرح + أمثلة

إن فهم التجارب ذات الحدين هو الخطوة الأولى لفهم التوزيع ذي الحدين .

يحدد هذا البرنامج التعليمي تجربة ذات الحدين ويقدم عدة أمثلة للتجارب التي تعتبر أو لا تعتبر تجارب ذات الحدين.

تجربة ذات الحدين: التعريف

التجربة ذات الحدين هي تجربة لها الخصائص الأربع التالية:

1. تتكون التجربة من تجارب متكررة. الرقم n يمكن أن يكون أي مبلغ. على سبيل المثال، إذا قمنا بقلب عملة معدنية 100 مرة، فإن n = 100.

2. كل تجربة لها نتيجتان محتملتان فقط. غالبًا ما نطلق على النتائج اسم “النجاح” أو “الفشل”، لكن “النجاح” هو مجرد تسمية لشيء نعول عليه. على سبيل المثال، عندما نرمي عملة معدنية، قد نطلق على الصورة اسم “الضربة” والذيل اسم “الفشل”.

3. احتمال النجاح، المشار إليه بـ p ، هو نفسه لكل تجربة. لكي تكون التجربة تجربة ذات حدين حقيقية، يجب أن يكون احتمال “النجاح” هو نفسه لكل تجربة. على سبيل المثال، عندما نقلب عملة معدنية، فإن احتمال الحصول على صورة (“النجاح”) هو نفسه دائمًا في كل مرة نقوم فيها بتقليب عملة معدنية.

4. كل اختبار مستقل . وهذا يعني ببساطة أن نتيجة تجربة واحدة لا تؤثر على نتيجة تجربة أخرى. على سبيل المثال، لنفترض أننا رمينا عملة معدنية فظهرت الصورة. حقيقة سقوطها على الرؤوس لا تغير من احتمالية سقوطها على الرؤوس في الرمية التالية. كل الوجه (أي كل “محاكمة”) مستقلة.

أمثلة على التجارب ذات الحدين

التجارب التالية كلها أمثلة على تجارب ذات الحدين.

مثال 1

اقلب العملة المعدنية 10 مرات. سجل عدد المرات التي هبطت فيها ذيولها.

هذه تجربة ذات الحدين لأنها تحتوي على الخصائص الأربع التالية:

• تتكون التجربة من تجارب متكررة. في هذه الحالة، هناك 10 محاولات.
• كل تجربة لها نتيجتين محتملتين فقط. يمكن للعملة أن تهبط فقط على الرؤوس أو الذيول.
• احتمال النجاح هو نفسه في كل تجربة . إذا عرفنا “النجاح” بأنه الهبوط على رأسك، فإن احتمال النجاح هو بالضبط 0.5 لكل تجربة.
• كل اختبار مستقل . لا تؤثر نتيجة التعادل الواحد على نتيجة أي سحب آخر.

مثال رقم 2

قم برمي حجر نرد ذي 6 جوانب 20 مرة. سجل عدد مرات ظهور الرقم 2.

هذه تجربة ذات الحدين لأنها تحتوي على الخصائص الأربع التالية:

• تتكون التجربة من تجارب متكررة. وفي هذه الحالة، هناك 20 تجربة.
• كل تجربة لها نتيجتين محتملتين فقط. إذا قمنا بتعريف الرقم 2 على أنه “نجاح”، ففي كل مرة يقع حجر النرد على الرقم 2 (نجاح) أو رقم آخر (فشل).
• احتمال النجاح هو نفسه في كل تجربة . في كل تجربة، يكون احتمال سقوط حجر النرد على الرقم 2 هو 1/6. ولا يتغير هذا الاحتمال من تجربة إلى أخرى.
• كل اختبار مستقل . لا تؤثر نتيجة لف القالب على نتيجة لفات القالب الأخرى.

مثال رقم 3

يقوم تايلر بـ 70% من محاولات الرمية الحرة. لنفترض أنه قام بـ 15 محاولة. سجل عدد السلال التي يصنعها.

هذه تجربة ذات الحدين لأنها تحتوي على الخصائص الأربع التالية:

• تتكون التجربة من تجارب متكررة. وفي هذه الحالة، هناك 15 تجربة.
• كل تجربة لها نتيجتين محتملتين فقط. في كل محاولة، ينجح تايلر في تسديد السلة أو يخطئها.
• احتمال النجاح هو نفسه في كل تجربة . في كل محاولة، يكون احتمال وصول تايلر للسلة هو 70%. ولا يتغير هذا الاحتمال من تجربة إلى أخرى.
• كل اختبار مستقل . لا تؤثر نتيجة محاولة الرمية الحرة على نتيجة أي محاولة رمية حرة أخرى.

أمثلة ليست تجارب ذات الحدين

مثال 1

اسأل 100 شخص عن أعمارهم .

هذه ليست تجربة ذات الحدين، لأن هناك أكثر من نتيجتين محتملتين.

مثال رقم 2

قم برمي حجر نرد عادي ذو 6 جوانب حتى يظهر الرقم 5.

هذه ليست تجربة ذات الحدين لأنه لا يوجد عدد محدد مسبقًا من التجارب. ليس لدينا أي فكرة عن عدد اللفات التي سنستغرقها حتى يظهر الرقم 5.

مثال رقم 3

اسحب 5 بطاقات من مجموعة البطاقات.

هذه ليست تجربة ذات حدين لأن نتيجة تجربة واحدة (على سبيل المثال، سحب بطاقة معينة من المجموعة) تؤثر على نتيجة التجارب اللاحقة.

مثال وحل تجربة ذات الحدين

يوضح المثال التالي كيفية حل سؤال يتعلق بتجربة ذات الحدين.

قمت بقلب العملة المعدنية 10 مرات. ما هو احتمال أن تستقر العملة على 7 رؤوس بالضبط؟

عندما نريد إيجاد احتمال نجاح n في تجربة ذات الحدين، نحتاج إلى استخدام الصيغة التالية:

P(نجاحات k بالضبط) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

ذهب:

• ن: عدد المحاولات
• ك: عدد النجاحات
• ج: رمز “الجمع”.
• ع: احتمال النجاح في تجربة معينة

وبإدراج هذه الأرقام في الصيغة نحصل على:

ف(7 رؤوس) = ₁₀ ج ₇ * 0.5 ⁷ * (1-0.5) ^10-7 = (120) * (.0078125) * (.125) = 0.11719 .

لذا، فإن احتمال ظهور العملة على الوجه 7 مرات هو 0.11719 .