تحليل الانحدار

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 2, 2023 إحصائيات 0 Comments

تشرح هذه المقالة ما هو تحليل الانحدار وما يتم استخدامه في الإحصائيات. بالإضافة إلى ذلك، سوف تكون قادرًا على معرفة الأنواع المختلفة لتحليل الانحدار.

ما هو تحليل الانحدار؟

في الإحصاء، تحليل الانحدار هو عملية يتم فيها دراسة العلاقة بين متغيرين أو أكثر. وبشكل أكثر تحديدًا، يتضمن تحليل الانحدار حساب معادلة تربط رياضيًا بين المتغيرات في الدراسة.

ويسمى النموذج المبني في تحليل الانحدار بنموذج الانحدار، بينما تسمى المعادلة التي تربط المتغيرات المدروسة بمعادلة الانحدار.

على سبيل المثال، إذا كنت تريد دراسة العلاقة بين التضخم في بلد ما والناتج المحلي الإجمالي، فيمكنك إجراء تحليل الانحدار لتحليل العلاقة بين المتغيرين. وفي هذه الحالة، فإن المعادلة التي تم الحصول عليها من تحليل الانحدار ستكون خط انحدار.

وبالتالي، يتكون تحليل الانحدار من جمع عينة من البيانات، ومن البيانات المجمعة، يتم حساب معادلة تسمح للمتغيرات المدروسة بأن تكون مرتبطة رياضياً.

في تحليلات الانحدار، من المهم التمييز بين نوعين من المتغيرات التي يمكن تضمينها في نموذج الانحدار:

المتغير التابع (أو متغير الاستجابة) : هذا هو العامل الذي نريد تحليله، لذلك سيتم بناء نموذج الانحدار لمعرفة كيف تختلف قيمة هذا المتغير باختلاف قيمة المتغيرات الأخرى.
المتغير المستقل (أو المتغير التوضيحي) : هو العامل الذي نعتبره من المحتمل أن يؤثر على المتغير الذي نرغب في تحليله. أي أن قيمة المتغير المستقل تؤثر على قيمة المتغير التابع.

أنواع تحليل الانحدار

في الأساس، هناك ثلاثة أنواع من تحليل الانحدار :

تحليل الانحدار الخطي البسيط : يحتوي نموذج الانحدار على متغير مستقل ومتغير تابع ويرتبطان خطيا.
تحليل الانحدار الخطي المتعدد : يرتبط متغيران مستقلان أو أكثر خطيًا بمتغير تابع.
تحليل الانحدار غير الخطي : يتم تصميم العلاقة بين المتغير المستقل والمتغير التابع باستخدام دالة غير خطية.

تحليل الانحدار الخطي البسيط

يستخدم الانحدار الخطي البسيط لربط متغير مستقل بكلا المتغيرين باستخدام معادلة خطية.

إن معادلة نموذج الانحدار الخطي البسيط عبارة عن خط مستقيم، ولذلك فهي تتكون من معاملين: ثابت المعادلة (β ₀ ) ومعامل الارتباط بين المتغيرين (β ₁ ). ولذلك، فإن معادلة نموذج الانحدار الخطي البسيط هي y=β ₀ +β ₁ x.

$y=\beta_0+\beta_1x$

الصيغ لحساب معاملات الانحدار الخطي البسيط هي كما يلي:

$\begin{array}{c}\beta_1=\cfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}\\[12ex]\beta_0=\overline{y}-\beta_1\overline{x}\end{array}$

ذهب:

$\beta_0$

هو ثابت خط الانحدار.
$\beta_1$

هو ميل خط الانحدار
$x_i$

هي قيمة المتغير المستقل X للبيانات i.
$y_i$

هي قيمة المتغير التابع Y للبيانات i.
$\overline{x}$

هو متوسط قيم المتغير المستقل
$\overline{y}$

هو متوسط قيم المتغير التابع Y.

➤ انظر: الانحدار الخطي البسيط

تحليل الانحدار الخطي المتعدد

في نموذج الانحدار الخطي المتعدد ، يتم تضمين متغيرين مستقلين على الأقل. بمعنى آخر، يسمح الانحدار الخطي المتعدد بربط العديد من المتغيرات التوضيحية خطيًا بمتغير الاستجابة. ولذلك، فإن معادلة نموذج الانحدار الخطي المتعدد هي:

$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+\dots+\beta_m x_m+\varepsilon$

ذهب:

$y$

هو المتغير التابع.
$x_i$

هو المتغير المستقل أنا .
$\beta_0$

هو ثابت معادلة الانحدار الخطي المتعدد.
$\beta_i$

هو معامل الانحدار المرتبط بالمتغير

$x_i$

.
$\bm{\varepsilon}$

هو الخطأ أو المتبقي، أي الفرق بين القيمة المرصودة والقيمة المقدرة بواسطة النموذج.
$m$

هو العدد الإجمالي للمتغيرات في النموذج.

لذلك إذا كان لدينا عينة بإجمالي

$n$

الملاحظات، يمكننا أن نطرح نموذج الانحدار الخطي المتعدد في شكل مصفوفة:

$\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&x_{11}&\dots&x_{1m}\\1&x_{21}&\dots&x_{2m}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&x_{n1}&\dots&x_{nm}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\beta_0\\\beta_1\\\vdots\\\beta_m\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}$

يمكن إعادة كتابة تعبير المصفوفة أعلاه عن طريق تخصيص حرف لكل مصفوفة:

$Y=X\beta+\varepsilon$

وبالتالي، من خلال تطبيق معيار المربعات الصغرى، يمكننا الوصول إلى صيغة تقدير معاملات نموذج الانحدار الخطي المتعدد :

$\widehat{\beta}=\left(X^tX\right)^{-1}X^tY$

ومع ذلك، فإن تطبيق هذه الصيغة شاق للغاية ويستغرق وقتًا طويلاً، ولهذا السبب يوصى عمليًا باستخدام برامج الكمبيوتر (مثل Minitab أو Excel) التي تسمح بإنشاء نموذج الانحدار المتعدد بسرعة أكبر.

➤ انظر: الانحدار الخطي المتعدد

تحليل الانحدار غير الخطي

في الإحصاء، الانحدار غير الخطي هو نوع من الانحدار يتم فيه استخدام دالة غير خطية كنموذج لمعادلة الانحدار. ولذلك، فإن معادلة نموذج الانحدار غير الخطي هي دالة غير خطية.

منطقيا، يتم استخدام الانحدار غير الخطي لربط المتغير المستقل بالمتغير التابع عندما لا تكون العلاقة بين المتغيرين خطية. لذلك، إذا لاحظنا عند الرسم البياني لبيانات العينة أنها لا تحتوي على علاقة خطية، أي أنها لا تشكل خطًا مستقيمًا تقريبًا، فمن الأفضل “استخدام نموذج الانحدار غير الخطي”.

على سبيل المثال، المعادلة y=3-5x-8x ² +x ³ هي نموذج انحدار غير خطي لأنها تربط رياضيًا المتغير المستقل X بالمتغير التابع Y عبر دالة مكعبة.

هناك ثلاثة أنواع رئيسية من الانحدار غير الخطي :

الانحدار متعدد الحدود – الانحدار غير الخطي الذي تكون معادلته على شكل كثير الحدود.

$y=\beta_0+\beta_1 x+\beta_2 x^2+\beta_3 x^3+\dots+\beta_m x^m$

الانحدار اللوغاريتمي – الانحدار غير الخطي الذي يتم فيه لوغاريتم المتغير المستقل.

$y=\beta_0+\beta_1\cdot \ln(x)$

الانحدار الأسي – الانحدار غير الخطي الذي يتواجد فيه المتغير المستقل في أس المعادلة.

$y=\beta_0\cdot e^{\beta_1\cdot x}$

➤ انظر: الانحدار غير الخطي

ما هو تحليل الانحدار المستخدمة ل؟

تحليل الانحدار له استخدامان أساسيان: يستخدم تحليل الانحدار لشرح العلاقة بين المتغيرات التوضيحية ومتغير الاستجابة وبالمثل، يستخدم تحليل الانحدار للتنبؤ بقيمة المتغير التابع لملاحظة جديدة.

ومن خلال الحصول على معادلة نموذج الانحدار يمكننا معرفة نوع العلاقة الموجودة بين المتغيرات في النموذج. إذا كان معامل الانحدار لمتغير مستقل موجباً فإن المتغير التابع سيزداد عندما يزيد. بينما إذا كان معامل الانحدار لمتغير مستقل سالباً فإن المتغير التابع سوف ينخفض عندما يزداد.

ومن ناحية أخرى، فإن المعادلة الرياضية التي تم الحصول عليها من تحليل الانحدار تسمح لنا أيضًا بالتنبؤ بالقيمة. وبالتالي، فمن خلال إدخال قيم المتغيرات التوضيحية في معادلة نموذج الانحدار، يمكننا حساب قيمة المتغير التابع لقطعة جديدة من البيانات.

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر