تقريب ساترثويت: التعريف والمثال

تقريب ساترثويت هو صيغة تستخدم للعثور على “الدرجات الفعالة للحرية” في اختبار t المكون من عينتين.

يتم استخدامه في أغلب الأحيان في اختبار ويلش ، الذي يقارن متوسط عينتين مستقلتين دون افتراض أن المجتمعات التي تم سحب العينات منها لها تباينات متساوية.

صيغة تقريب ساترثويت هي كما يلي:

 Degrees of freedom: (s 1 2 /n 1 + s 2 2 /n 2 ) 2 / {[(s 1 2 /n 1 ) 2 /(n 1 – 1)] + [(s 2 2 /n 2 ) 2 /(n 2 – 1)]}

ذهب:

• s ₁ ² , s ₂ ² : تباين العينة للعينتين الأولى والثانية على التوالي.
• _n1 , _n2 : حجم العينة للعينتين الأولى والثانية على التوالي.

يوضح المثال التالي كيفية استخدام تقريب Satterthwaite لحساب درجات الحرية الفعالة.

مثال: حساب تقريب ساترثويت

لنفترض أننا نريد معرفة ما إذا كان متوسط ارتفاع نوعين مختلفين من النباتات متساويًا. لذلك سنقوم بجمع عينتين عشوائيتين بسيطتين من كل نوع وقياس ارتفاع النباتات في كل عينة.

تشير القيم التالية إلى الارتفاع (بالبوصة) لكل عينة:

العينة 1: 14، 15، 15، 15، 16، 18، 22، 23، 24، 25، 25

العينة 2: 10، 12، 14، 15، 18، 22، 24، 27، 31، 33، 34، 34، 34

يتبين أن المتوسطات الحسابية والتباينات وأحجام العينات هي:

• ×1 ₌ 19.27
• ×2 ₌ 23.69
• ق ₁ ² = 20.42
• ق ₂ ² = 83.23
• ن1 ₌ 11
• ن2 = ₁₃

بعد ذلك يمكننا التعويض بقيم التباينات وأحجام العينات في صيغة تقريب ساترثويت لإيجاد درجات الحرية الفعالة:

 df = (s 1 2 /n 1 + s 2 2 /n 2 ) 2 / {[(s 1 2 /n 1 ) 2 /(n 1 – 1)] + [(s 2 2 /n 2 ) 2 / (n 2 – 1)]} 

df = (20.42/11 + 83.23/13) 2 /{[(20.42/11) 2 /(11 – 1)] + [(83.23/13) 2 /(13 – 1)]} = 18.137

وتبين أن درجات الحرية الفعالة تبلغ 18,137 .

عادة، نقوم بتقريب هذه القيمة إلى أقرب عدد صحيح، وبالتالي فإن درجات الحرية التي سنستخدمها في اختبار Welch’s t هي 18 .

أخيرًا، سنجد القيمة الحرجة t في جدول التوزيع t والتي تتوافق مع اختبار ثنائي الطرف مع alpha = 0.05 لـ 18 درجة حرية:

القيمة الحرجة t هي 2.101 .

سنقوم بعد ذلك بحساب إحصائية الاختبار لدينا على النحو التالي:

إحصائية الاختبار: ( x ₁ – x ₂ ) / (√ ق ₁ ² /n ₁ + ق ₂ ² /n ₂ )

إحصائية الاختبار: (19.27 – 23.69) / (√ 20.42/11 + 83.23/13 ) = -4.42 / 2.873 = -1.538

نظرًا لأن القيمة المطلقة لإحصائيات الاختبار (1.538) ليست أكبر من القيمة الحرجة t، فإننا نفشل في رفض الفرضية الصفرية للاختبار.

لا توجد أدلة كافية تشير إلى أن متوسطات المجموعتين تختلف بشكل كبير.

تقريب ساترثويت في الممارسة العملية

ومن الناحية العملية، نادرًا ما تحتاج إلى حساب تقريب ساترثويت يدويًا.

بدلاً من ذلك، يمكن للبرامج الإحصائية الشائعة مثل R وPython وExcel وSAS وStata استخدام تقريب Satterthwaite لحساب درجات الحرية الفعالة لك تلقائيًا.

مصادر إضافية

مقدمة لاختبار الفرضيات
مقدمة لاختبار t ذو العينتين
مقدمة لاختبار ويلش تي