توزيع الاحتمالات المنفصلة

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 3, 2023 احتمالا 0 Comments

تشرح هذه المقالة ما هي التوزيعات الاحتمالية المنفصلة في الإحصائيات. لذا، ستجد معنى التوزيع الاحتمالي المنفصل، وأمثلة على التوزيعات الاحتمالية المنفصلة وما هي الأنواع المختلفة للتوزيعات الاحتمالية المنفصلة.

ما هو التوزيع الاحتمالي المنفصل؟

التوزيع الاحتمالي المنفصل هو التوزيع الذي يحدد احتمالات المتغير العشوائي المنفصل . لذلك، يمكن للتوزيع الاحتمالي المنفصل أن يأخذ فقط عددًا محدودًا من القيم (عادةً أعداد صحيحة).

على سبيل المثال، التوزيع ذو الحدين، توزيع بواسون، والتوزيع الهندسي الزائد هي توزيعات احتمالية منفصلة.

في التوزيع الاحتمالي المنفصل، ترتبط كل قيمة للمتغير المنفصل الذي يمثل (x _i ) بقيمة احتمالية (p _i ) تتراوح من 0 إلى 1. وبالتالي، فإن مجموع كل الاحتمالات في التوزيع المنفصل يعطي النتيجة واحدة .

$\begin{array}{c}P[X=x_i]=p_i \quad i=1,2,\ldots, n\\[2ex]0\leq p_i\leq 1\\[2ex]\displaystyle\sum_{i=0}^{n}p_i=1\end{array}$

أمثلة على التوزيعات الاحتمالية المنفصلة

الآن بعد أن عرفنا تعريف التوزيع الاحتمالي المنفصل، سنرى عدة أمثلة على هذا النوع من التوزيع لفهم المفهوم بشكل أفضل.

أمثلة على التوزيعات الاحتمالية المنفصلة:

عدد مرات الحصول على الرقم 5 عن طريق رمي حجر النرد 30 مرة.
عدد المستخدمين الذين يصلون إلى صفحة ويب في يوم واحد.
عدد الطلاب الذين اجتازوا الامتحان من إجمالي 50 طالباً.
عدد الوحدات المعيبة في عينة مكونة من 100 منتج.
عدد المرات التي يجب على الشخص أداء اختبار القيادة لاجتيازه.

أنواع التوزيعات الاحتمالية المنفصلة

الأنواع الرئيسية للتوزيعات الاحتمالية المنفصلة هي:

توزيع موحد منفصل
توزيع برنولي
توزيع ثنائي
توزيع الأسماك
توزيع متعدد الحدود
التوزيع الهندسي
التوزيع السلبي ذو الحدين
التوزيع الهندسي الزائد

يتم شرح كل نوع من التوزيع الاحتمالي المنفصل بالتفصيل أدناه.

توزيع موحد منفصل

التوزيع الموحد المنفصل هو توزيع احتمالي منفصل تكون فيه جميع القيم متساوية الاحتمال، أي أنه في التوزيع الموحد المنفصل، تكون جميع القيم لها نفس احتمالية الحدوث.

على سبيل المثال، يمكن تعريف رمي النرد بتوزيع موحد منفصل، حيث أن جميع النتائج المحتملة (1، 2، 3، 4، 5، أو 6) لها نفس احتمالية الحدوث.

بشكل عام، يحتوي التوزيع الموحد المنفصل على معلمتين مميزتين، a و b ، اللتين تحددان نطاق القيم المحتملة التي يمكن أن يأخذها التوزيع. وبالتالي، عندما يتم تعريف متغير بواسطة توزيع موحد منفصل، يتم كتابته Union(a,b) .

$X\sim \text{Uniforme}(a,b)$

يمكن استخدام التوزيع الموحد المنفصل لوصف التجارب العشوائية لأنه إذا كانت جميع النتائج لها نفس الاحتمال، فهذا يعني أن التجربة عشوائية.

➤ انظر: صيغة التوزيع الموحد المنفصل

توزيع برنولي

توزيع برنولي ، المعروف أيضًا باسم التوزيع الثنائي ، هو توزيع احتمالي يمثل متغيرًا منفصلاً يمكن أن يكون له نتيجتين فقط: “النجاح” أو “الفشل”.

في توزيع برنولي، “النجاح” هو النتيجة التي نتوقعها وقيمتها 1، في حين أن نتيجة “الفشل” هي نتيجة غير المتوقعة وقيمتها 0. لذلك، إذا كان احتمال نتيجة ” النجاح” هو p ، واحتمال نتيجة “الفشل” هو q=1-p .

$\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}$

تم تسمية توزيع برنولي على اسم الإحصائي السويسري جاكوب برنولي.

في الإحصاء، توزيع برنولي له تطبيق واحد بشكل أساسي: تحديد احتمالات التجارب التي لا يوجد فيها سوى نتيجتين محتملتين: النجاح والفشل. لذا، فإن التجربة التي تستخدم توزيع برنولي تسمى اختبار برنولي أو تجربة برنولي.

➤ انظر: صيغة توزيع برنولي

توزيع ثنائي

التوزيع ذو الحدين ، ويسمى أيضًا التوزيع ذي الحدين ، هو توزيع احتمالي يحسب عدد النجاحات عند إجراء سلسلة من التجارب الثنائية المستقلة مع احتمال ثابت للنجاح. بمعنى آخر، التوزيع ذو الحدين هو توزيع يصف عدد النتائج الناجحة لسلسلة من تجارب برنولي.

على سبيل المثال، عدد المرات التي تظهر فيها العملة على الصورة 25 مرة هو توزيع ذي الحدين.

بشكل عام، يتم تحديد العدد الإجمالي للتجارب التي تم إجراؤها باستخدام المعلمة n ، بينما p هو احتمال نجاح كل تجربة. وبالتالي، يتم كتابة المتغير العشوائي الذي يتبع التوزيع ذي الحدين على النحو التالي:

$X\sim\text{Bin}(n,p)$

لاحظ أنه في التوزيع ذي الحدين، يتم تكرار نفس التجربة بالضبط n مرات وتكون التجارب مستقلة عن بعضها البعض، وبالتالي فإن احتمال نجاح كل تجربة هو نفسه (p) .

➤ انظر: صيغة التوزيع ذات الحدين

توزيع الأسماك

توزيع بواسون هو توزيع احتمالي يحدد احتمالية حدوث عدد معين من الأحداث خلال فترة زمنية. بمعنى آخر، يتم استخدام توزيع بواسون لنمذجة المتغيرات العشوائية التي تصف عدد المرات التي تتكرر فيها الظاهرة خلال فترة زمنية.

على سبيل المثال، عدد المكالمات التي يتلقاها مقسم الهاتف في الدقيقة هو متغير عشوائي منفصل يمكن تعريفه باستخدام توزيع بواسون.

يحتوي توزيع بواسون على معلمة مميزة، ممثلة بالحرف اليوناني α وتشير إلى عدد المرات التي من المتوقع أن يحدث فيها الحدث المدروس خلال فترة زمنية معينة.

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

➤ انظر: صيغة توزيع الأسماك

توزيع متعدد الحدود

التوزيع متعدد الحدود (أو التوزيع متعدد الحدود ) هو توزيع احتمالي يصف احتمال حدوث عدة أحداث متنافية لعدد معين من المرات بعد عدة تجارب.

أي أنه إذا كانت التجربة العشوائية يمكن أن تؤدي إلى ثلاثة أحداث حصرية أو أكثر وكان احتمال حدوث كل حدث على حدة معروفًا، فسيتم استخدام التوزيع متعدد الحدود لحساب احتمال حدوث عدد معين من الأحداث عند إجراء تجارب متعددة. مرة في كل مرة.

وبالتالي فإن التوزيع متعدد الحدود هو تعميم للتوزيع ذي الحدين.

➤ انظر: صيغة التوزيع متعددة الحدود

التوزيع الهندسي

التوزيع الهندسي هو توزيع احتمالي يحدد عدد تجارب برنولي المطلوبة للحصول على أول نتيجة ناجحة. أي أن عمليات نماذج التوزيع الهندسي يتم فيها تكرار تجارب برنولي حتى يحصل أحدها على نتيجة إيجابية.

على سبيل المثال، عدد السيارات التي تمر على الطريق حتى ترى سيارة صفراء هو توزيع هندسي.

تذكر أن اختبار برنولي هو تجربة لها نتيجتان محتملتان: “النجاح” و”الفشل”. لذا، إذا كان احتمال “النجاح” هو p ، فإن احتمال “الفشل” هو q=1-p .

وبالتالي فإن التوزيع الهندسي يعتمد على المعلمة p ، وهي احتمالية نجاح جميع التجارب التي تم إجراؤها. علاوة على ذلك، فإن الاحتمال p هو نفسه في جميع التجارب.

$X\sim\text{Geom\'etrica}(p)$

➤ انظر: صيغة التوزيع الهندسي

التوزيع السلبي ذو الحدين

التوزيع السلبي ذو الحدين هو توزيع احتمالي يصف عدد تجارب برنولي المطلوبة للحصول على عدد معين من النتائج الإيجابية.

ولذلك، فإن التوزيع السلبي ذي الحدين له معلمتان مميزتان: r هو عدد النتائج الناجحة المطلوبة و p هو احتمال النجاح لكل تجربة بيرنولي يتم إجراؤها.

$X\sim \text{BN}(r,p)$

وبالتالي، فإن التوزيع السلبي ذو الحدين يحدد العملية التي يتم فيها إجراء العديد من تجارب برنولي حسب الضرورة للحصول على نتائج إيجابية. علاوة على ذلك، فإن جميع تجارب برنولي هذه مستقلة ولها احتمالية ثابتة للنجاح .

على سبيل المثال، المتغير العشوائي الذي يتبع التوزيع السالب ذو الحدين هو عدد المرات التي يجب فيها رمي حجر النرد حتى يتم رمي الرقم 6 ثلاث مرات.

➤ انظر: صيغة التوزيع السلبي ذي الحدين

التوزيع الهندسي الزائد

التوزيع الهندسي الفائق هو توزيع احتمالي يصف عدد الحالات الناجحة في الاستخراج العشوائي دون استبدال عناصر n من السكان.

أي أنه يتم استخدام التوزيع الهندسي الفائق لحساب احتمالية الحصول على نجاحات x عند استخراج عناصر n من المجتمع دون استبدال أي منها.

لذلك، فإن التوزيع الهندسي الفائق له ثلاث معلمات:

N : هو عدد العناصر في المجتمع (N = 0، 1، 2،…).
K : هو الحد الأقصى لعدد حالات النجاح (K = 0، 1، 2،…،N). نظرًا لأنه في التوزيع الهندسي الفائق، لا يمكن اعتبار العنصر إلا “نجاحًا” أو “فشلًا”، فإن NK هو الحد الأقصى لعدد حالات الفشل.
n : هو عدد عمليات جلب عدم الاستبدال التي يتم تنفيذها.

$X \sim HG(N,K,n)$

➤ انظر: صيغة التوزيع الهندسي الزائدي

التوزيع الاحتمالي المنفصل والمستمر

وأخيرا، سوف نرى الفرق بين التوزيع الاحتمالي المنفصل والتوزيع الاحتمالي المستمر، لأنه من المهم معرفة كيفية التمييز بين هذين النوعين من التوزيعات.

الفرق بين التوزيع المنفصل والتوزيع المستمر هو عدد القيم التي يمكن أن يأخذوها. التوزيع المستمر يمكن أن يأخذ أي قيمة، من ناحية أخرى، التوزيع المنفصل لا يقبل أي قيم ولكن يمكن أن يأخذ فقط عددا محدودا من القيم.

إحدى الطرق للتمييز بين التوزيعات المستمرة والتوزيعات المنفصلة هي تحديد نوع الأرقام التي يمكن أن تحتوي عليها. عادةً، يمكن للتوزيع المستمر أن يأخذ أي قيمة، بما في ذلك الأرقام العشرية، في حين أن التوزيعات المنفصلة يمكن أن تأخذ الأعداد الصحيحة فقط. ضع في اعتبارك أن هذه النصيحة لا تعمل في جميع الحالات، ولكن في الغالبية العظمى من الحالات.

➤ انظر: ما هو التوزيع الاحتمالي المستمر؟

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر