توزيع العينات من الفرق في النسب

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 3, 2023 إحصائيات 0 Comments

تشرح هذه المقالة الفرق في توزيع العينات التناسبية وما يتم استخدامه في الإحصائيات. كما يتم عرض الفرق في صيغة توزيع أخذ العينات والتمرين الذي تم حله خطوة بخطوة.

ما هو توزيع العينة للفرق في النسب؟

الفرق في نسب توزيع العينات هو التوزيع الناتج عن حساب الاختلافات بين نسب المعاينة لجميع العينات الممكنة من مجموعتين مختلفتين.

أي أن عملية الحصول على توزيع العينة للاختلاف في النسب هي، أولاً، استخراج جميع العينات الممكنة من مجتمعين مختلفين، وثانياً، تحديد نسبة كل عينة مستخرجة، وأخيراً، تحديد الفرق بين جميع العينات نسب اختلاف النسب. اثنين من السكان. بحيث تشكل مجموعة النتائج التي تم الحصول عليها بعد إجراء هذه العمليات توزيع المعاينة للفرق في النسب.

في الإحصاء، يتم استخدام الفرق في نسب توزيع العينات لحساب احتمال أن يكون الفرق بين نسب العينة لعينتين تم اختيارهما عشوائيًا قريبًا من الفرق في نسب السكان.

➤ انظر: تخصيص العينات التناسبية

صيغة لتوزيع العينات من الفرق في النسب

يتم تحديد العينات المختارة للاختلاف في نسب توزيع العينات من خلال التوزيعات ذات الحدين ، لأنه لأغراض عملية، النسبة هي نسبة الحالات الناجحة إلى إجمالي عدد الملاحظات.

ومع ذلك، وبسبب نظرية الحد المركزي، يمكن تقريب التوزيعات ذات الحدين إلى التوزيعات الاحتمالية العادية . ولذلك يمكن تقريب توزيع المعاينة للفرق في النسب إلى توزيع طبيعي يتمتع بالخصائص التالية:

$\begin{array}{c}\displaystyle\mu_{\widehat{p_1}-\widehat{p_2}}=p_1-p_2 \qquad \sigma_{\widehat{p_1}-\widehat{p_2}}=\sqrt{\frac{p_1q_1}{n_1}+\frac{p_2q_2}{n_2}}\\[6ex]\displaystyle N_{p}\left(p_1-p_2, \sqrt{\frac{p_1q_1}{n_1}+\frac{p_2q_2}{n_2}}\right) \end{array}$

ملاحظة: لا يمكن تقريب توزيع العينة للفرق في النسب إلا إذا كان

$n_1\geq30$

$n_2\geq 30$

$n_1p_1\geq5$

$n_2p_2\geq5$

$n_1q_1\geq5$

$n_2q_2\geq5$

لذلك، بما أن توزيع المعاينة للفرق في النسب يمكن تقريبه إلى التوزيع الطبيعي، فإن صيغة حساب إحصائية توزيع المعاينة للفرق في النسب هي كما يلي:

$Z=\cfrac{(\widehat{p_1}-\widehat{p_2})-(p_1-p_2)}{\displaystyle\sqrt{\frac{p_1q_1}{n_1}+\frac{p_2q_2}{n_2}}}$

ذهب:

$\widehat{p_i}$

هي نسبة العينة أنا.
$p_i$

هي نسبة السكان ط.
$q_i$

هو احتمال فشل السكان أنا ،

$q_i=1-p_i$

.
$n_i$

هو حجم العينة أنا.
$Z$

هو متغير يحدده التوزيع الطبيعي القياسي N(0,1).

تشبه هذه الصيغة صيغة اختبار الفرضيات للاختلاف في النسب.

مثال ملموس لتوزيع العينات باختلاف النسب

بعد الاطلاع على تعريف توزيع العينات بنسب مختلفة وما هي صيغته، يمكنك أن ترى أدناه مثالًا تم حله خطوة بخطوة لإنهاء فهم المفهوم.

أنت تريد تحليل دقة مصنعين للإنتاج، أحدهما ينتج بطريقة تجعل 5% فقط من الأجزاء المنتجة بها عيوب، بينما تبلغ نسبة الأجزاء المعيبة في مصنع آخر 8%. إذا أخذنا عينة مكونة من 200 قطعة من المصنع الأول وعينة أخرى مكونة من 280 قطعة من المصنع الثاني، فما احتمال أن تكون نسبة العيوب في مصنع الإنتاج الأول أكبر من نسبة العيوب في المصنع الثاني؟ إنتاج؟

وللانتهاء من معرفة كافة بيانات المشكلة سنقوم أولاً بحساب نسبة الأجزاء جيدة الإنتاج من كل نبات:

$\begin{array}{c}q_1=1-p_1=1-0,05=0,95\\[2ex]q_2=1-p_2=1-0,08=0,92\end{array}$

فإذا كانت نسبة الخلل في المصنع الأول أكبر من نسبة الخلل في المصنع الثاني فإن ذلك يعني أن المعادلة التالية تكون صحيحة:

$\widehat{p_1}-\widehat{p_2}>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”18″ width=”89″ style=”vertical-align: -4px;”> <p style=$ لذلك، لتحديد احتمال توزيع العينة للاختلاف في النسب، نحتاج إلى تطبيق الصيغة الموضحة في القسم أعلاه:

$Z=\cfrac{(\widehat{p_1}-\widehat{p_2})-(p_1-p_2)}{\displaystyle\sqrt{\frac{p_1q_1}{n_1}+\frac{p_2q_2}{n_2}}}=\cfrac{0-(0,05-0,08)}{\displaystyle\sqrt{\frac{0,05\cdot 0,95}{200}+\frac{0,08\cdot 0,92}{280}}}=1,34$

وبالتالي فإن احتمال أن يكون معدل الخلل في المصنع الأول أكبر من معدل الخلل في المصنع الثاني يعادل احتمال أن يكون المتغير Z أكبر من 1.34:

$P[(\widehat{p_1}-\widehat{p_2})>0]=P[Z>1,34]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”19″ width=”242″ style=”vertical-align: -5px;”> <p style=$ أخيرًا، نحتاج فقط إلى البحث عن الاحتمال المقابل في جدول التوزيع الطبيعي وسنكون قد حللنا المشكلة بالفعل:

$P[(\widehat{p_1}-\widehat{p_2})>0]=P[Z>1,34]=0,0901″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”19″ width=”319″ style=”vertical-align: -5px;”> <p style=$ وباختصار فإن احتمال أن تكون نسبة العيوب في المصنع الأول أكبر من نسبة العيوب في المصنع الثاني هي 9.01%.

➤ انظر: توزيع العينات للفرق في الوسائل

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر

ما هو توزيع العينة للفرق في النسب؟

صيغة لتوزيع العينات من الفرق في النسب

مثال ملموس لتوزيع العينات باختلاف النسب

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

Add a Comment