توزيع بيتا

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 4, 2023 احتمالا 0 Comments

تشرح هذه المقالة ما هو التوزيع التجريبي وما يتم استخدامه من أجله. وبالمثل، ستتمكن من رؤية الرسم البياني لتوزيع بيتا وخصائص هذا النوع من التوزيع الاحتمالي.

ما هو توزيع البيتا؟

توزيع بيتا هو توزيع احتمالي محدد على الفاصل الزمني (0،1) ومحدد بمعلمتين موجبتين: α و β. بمعنى آخر، تعتمد قيم توزيع بيتا على المعلمتين α و β.

ولذلك، فإن الميزة الرئيسية لتوزيع بيتا هي أنه يمكن التحكم في شكله بواسطة المعلمات α و β. بالإضافة إلى ذلك، يتم استخدام توزيع بيتا لتحديد المتغيرات العشوائية التي تتراوح قيمتها بين 0 و1.

هناك عدة رموز تشير إلى أن المتغير العشوائي المستمر محكوم بتوزيع بيتا، وأكثرها شيوعًا هي:

$\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim Beta(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim \beta_{\alpha,\beta}\end{array}$

في الإحصائيات، توزيع بيتا له تطبيقات متنوعة جدًا. على سبيل المثال، يتم استخدام توزيع بيتا لدراسة الاختلافات في النسب المئوية في عينات مختلفة. وبالمثل، في إدارة المشاريع، يتم استخدام توزيع بيتا لإجراء تحليل بيرت.

مؤامرة توزيع بيتا

وبالنظر إلى تعريف توزيع بيتا، يتم رسم دالة الكثافة ووظيفة التوزيع الاحتمالي لتوزيع بيتا أدناه.

يمكنك أدناه رؤية كيف يختلف الرسم البياني لوظيفة الكثافة لتوزيع بيتا اعتمادًا على المعلمات α وβ.

وبالمثل، يمكنك أدناه رؤية التمثيل الرسومي للاحتمال التراكمي لتوزيع بيتا بناءً على المعلمات α وβ.

خصائص توزيع بيتا

سنرى في هذا القسم ما هي أهم خصائص توزيعة البيتا.

المعلمات α و β لتوزيع بيتا هي أرقام حقيقية وإيجابية.

$\begin{array}{c}\alpha >0\\[2ex] \beta >0\end{array}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”54″ width=”44″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <ul style=$

نطاق توزيع بيتا يتراوح من 0 إلى 1، ولم يتم تضمين الحدين الأقصىين.

$x\in (0,1)$

متوسط توزيع بيتا يساوي ألفا مقسومًا على مجموع ألفا زائد بيتا.

$\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex] E[X]=\cfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\end{array}$

يمكن حساب تباين توزيع بيتا باستخدام الصيغة التالية:

$\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex] Var(X)=\cfrac{\alpha\cdot \beta}{(\alpha+\beta+1)\cdot (\alpha+\beta)^2}\end{array}$

بالنسبة لقيم ألفا وبيتا الأكبر من 1، يمكن العثور بسهولة على وضع توزيع بيتا بالتعبير التالي:

$Mo=\cfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\qquad \alpha,\beta>1″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”42″ width=”225″ style=”vertical-align: -16px;”></p> </p> <ul style=$

دالة الكثافة لتوزيع بيتا هي كما يلي:

$\displaystyle P[X=x]=\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}$

حيث B(α,β) هي دالة بيتا، والتي يتم تعريفها على النحو التالي:

$\displaystyle B(\alpha,\beta)=\int_0^1x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dx$

دالة الاحتمال التراكمية لتوزيع بيتا هي:

$\displaystyle P[X\leq x]=\frac{B(x;\alpha,\beta)}{B(\alpha,\beta)}$

حيث B(x;α,β) هي دالة بيتا غير المكتملة، ويتم تعريفها على النحو التالي:

$\displaystyle B(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt$

إذا كان X متغيرًا محددًا بواسطة توزيع بيتا، فإن 1-X هو متغير معرف بواسطة توزيع بيتا الذي تكون معلمات ألفا وبيتا هي معلمات بيتا وألفا لتوزيع بيتا الأصلي، على التوالي.

$X\sim B(\alpha,\beta) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ 1-X\sim B(\beta,\alpha)$

إذا كانت معلمات ألفا وبيتا لتوزيع بيتا تساوي 1، فإن التوزيع يعادل التوزيع الموحد للمعلمتين 0 و1.

$X\sim B(1,1) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ X\sim U(0,1)$

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر

ما هو توزيع البيتا؟

مؤامرة توزيع بيتا

خصائص توزيع بيتا

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

Add a Comment