التوزيع ذو الحدين والتوزيع الهندسي: أوجه التشابه والاختلاف

هناك توزيعان شائعان الاستخدام في الإحصاء هما التوزيع ذو الحدين والتوزيع الهندسي .

يقدم هذا البرنامج التعليمي شرحًا موجزًا لكل توزيع بالإضافة إلى أوجه التشابه والاختلاف بين الاثنين.

التوزيع ذو الحدين

يصف التوزيع ذو الحدين احتمالية الحصول على نجاحات k في تجارب ذات الحدين n .

إذا كان المتغير العشوائي X يتبع التوزيع ذي الحدين، فيمكن العثور على احتمال نجاح X = k من خلال الصيغة التالية:

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

ذهب:

• ن: عدد التجارب
• ك: عدد النجاحات
• ع: احتمال النجاح في تجربة معينة
• _n C _k : عدد الطرق للحصول على نجاحات k في التجارب n

على سبيل المثال، لنفترض أننا نقلب عملة معدنية 3 مرات. يمكننا استخدام الصيغة أعلاه لتحديد احتمالية الحصول على 0 صورة خلال هذه التقلبات الثلاثة:

ف(X=0) = ₃ ج ₀ * 0.5 ⁰ * (1-0.5) ^3-0 = 1 * 1 * (0.5) ³ = 0.125

التوزيع الهندسي

يصف التوزيع الهندسي احتمالية مواجهة عدد معين من حالات الفشل قبل تجربة النجاح الأول في سلسلة من التجارب ذات الحدين.

إذا كان المتغير العشوائي X يتبع توزيعًا هندسيًا، فيمكن إيجاد احتمالية حدوث حالات فشل k قبل تجربة النجاح الأول من خلال الصيغة التالية:

P(X=k) = (1-p) ^kp

ذهب:

• ك: عدد حالات الفشل قبل النجاح الأول
• ع: احتمال النجاح في كل تجربة

على سبيل المثال، لنفترض أننا نريد معرفة عدد المرات التي يتعين علينا فيها رمي عملة معدنية حتى تظهر الصورة. يمكننا استخدام الصيغة أعلاه لتحديد احتمال حدوث 3 “أخطاء” قبل أن تهبط العملة أخيرًا على الوجه:

ف(X=3) = (1-0.5) ³ (0.5) = 0.0625

أوجه التشابه والاختلاف

تشترك التوزيعات ذات الحدين والهندسية في أوجه التشابه التالية:

• يمكن تصنيف نتيجة التجارب في كلا التوزيعتين على أنها “نجاح” أو “فشل”.
• احتمال النجاح هو نفسه في كل تجربة.
• كل اختبار مستقل.

تشترك التوزيعات في الاختلاف الرئيسي التالي:

• في التوزيع ذي الحدين يوجد عدد محدد من المحاولات (أي اقلب العملة المعدنية 3 مرات)
• في التوزيع الهندسي، نحن مهتمون بعدد المحاولات اللازمة حتى نحصل على النجاح (أي ما عدد الانعكاسات التي يتعين علينا القيام بها قبل رؤية الذيل؟)

القضايا العملية: متى يجب استخدام كل توزيع

في كل من المسائل التدريبية التالية، حدد ما إذا كان المتغير العشوائي يتبع توزيعًا ذا الحدين أم توزيعًا هندسيًا.

المشكلة 1: رمي النرد

تلعب جيسيكا لعبة الحظ حيث تستمر في رمي حجر النرد حتى تصل إلى الرقم 4. دع X هو عدد الرميات حتى يظهر الرقم 4. ما نوع التوزيع الذي يتبعه المتغير العشوائي X ؟

الجواب : الاختبار.

المشكلة 2: إطلاق الرميات الحرة

يقوم تايلر بتنفيذ 80% من جميع الرميات الحرة التي يقوم بها. لنفترض أنه قام بـ 10 رميات حرة. اجعل X هو عدد المرات التي قام فيها تايلر بتسجيل السلة خلال المحاولات العشر. ما نوع التوزيع الذي يتبعه المتغير العشوائي X ؟

الجواب :

مصادر إضافية

حاسبة التوزيع ذات الحدين
حاسبة التوزيع الهندسي