الصيغ الاحتمالية

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 1, 2023 احتمالا 0 Comments

توضح هذه المقالة ما هي صيغ الاحتمال. وبالتالي، ستجد جميع صيغ نظرية الاحتمالات، بالإضافة إلى أمثلة لتطبيقها.

صيغة قاعدة لابلاس

قاعدة لابلاس، والمعروفة أيضًا باسم قانون لابلاس، هي قاعدة تستخدم لحساب احتمال وقوع حدث ما.

تنص قاعدة لابلاس على أن احتمال وقوع حدث ما يساوي عدد الحالات الإيجابية مقسومًا على إجمالي عدد الحالات المحتملة. لذلك، لحساب احتمال وقوع حدث ما، يجب تقسيم الحالات التي تلبي هذا الحدث على عدد النتائج المحتملة.

وبالتالي فإن صيغة قاعدة لابلاس هي كما يلي:

$P(A)=\cfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$

➤ انظر: مثال على قاعدة لابلاس

صيغة للحدث العكسي

احتمال وقوع حدث واحد يساوي واحدًا ناقص احتمال الحدث المعاكس له. بمعنى آخر، مجموع احتمال وقوع حدث واحد بالإضافة إلى احتمال الحدث المعاكس له يساوي 1.

$P\bigl(A\bigr)=1-P\bigl(\overline{A}\bigr)$

على سبيل المثال، احتمال ظهور الرقم 5 هو 0.167، حيث يمكننا تحديد احتمال ظهور أي رقم آخر باستخدام هذه الخاصية الاحتمالية:

$P(5)=0,167$

$P(1, 2, 3, 4, 6)=1-P(5)=1-0,167=0,833$

صيغة الاحتمال الشرطي

الاحتمال الشرطي، ويسمى أيضًا الاحتمال الشرطي، هو مقياس إحصائي يشير إلى احتمال وقوع الحدث A في حالة وقوع حدث B آخر. أي أن الاحتمال الشرطي P(A|B) يشير إلى احتمال وقوع الحدث A بعد وقوع الحدث B بالفعل.

الاحتمال الشرطي للحدث A في ضوء الحدث B يساوي احتمال التقاطع بين الحدث A والحدث B مقسومًا على احتمال الحدث B. وبالتالي، فإن صيغة الاحتمال الشرطي هي كما يلي:

$P(A|B)=\cfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$

➤ انظر: مثال على الاحتمال المشروط

صيغة لاتحاد الأحداث

اتحاد الحدثين A وB هو مجموعة الأحداث الموجودة في A أو في B أو في كليهما. يتم التعبير عن اتحاد الحدثين بالرمز ⋃، وبالتالي فإن اتحاد الحدثين A وB يُكتب A⋃B.

احتمال اتحاد حدثين يساوي احتمال الحدث الأول، زائد احتمال الحدث الثاني، ناقص احتمال تقاطع الحدثين.

بمعنى آخر، صيغة احتمال اتحاد حدثين هي P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A⋂B).

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

أما إذا كان الحدثان غير متوافقين، فإن التقاطع بين الحدثين يكون صفرًا. ولذلك، يتم حساب احتمال اتحاد حدثين غير متوافقين عن طريق إضافة احتمال حدوث كل حدث.

$\text{A y B son incompatibles} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P(A\cap B)=0$

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

➤ انظر: أمثلة على المشاركة في الأحداث

صيغة لتقاطع الأحداث

تقاطع الحدثين A و B يتكون من جميع الأحداث التي تنتمي إلى A و B في نفس الوقت، ويعبر عنها بالرمز ⋂. ومن ثم، فإن تقاطع الحدثين A وB يُكتب A⋂B.

احتمال تقاطع حدثين يساوي احتمال وقوع حدث واحد مضروبًا في الاحتمال الشرطي لوقوع الحدث الآخر بمعلومية الحدث الأول.

ولذلك، فإن صيغة احتمال تقاطع حدثين هي P(A⋂B)=P(A) P(B|A)=P(B) P(A|B).

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=P(B)\cdot P(A|B)$

ومع ذلك، إذا كان الحدثان مستقلين، فهذا يعني أن احتمال وقوع حدث واحد لا يعتمد على ما إذا كان الحدث الآخر قد وقع أم لا. ولذلك فإن صيغة احتمال تقاطع الحدثين المستقلين هي كما يلي:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

➤ انظر: أمثلة على تقاطع الأحداث

صيغة لاختلاف الأحداث

يشير احتمال الفرق بين حدثين إلى احتمال وقوع حدث واحد دون وقوع الحدث الآخر في نفس الوقت.

ولذلك فإن احتمال اختلاف نجاحات AB يساوي احتمال نجاح A ناقص احتمال التقاطع بين نجاح A ونجاح B. لذا فإن صيغة احتمال اختلاف النجاحات هي الصيغة التالية:

$P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$

صيغة لنظرية الاحتمال الكلي

نظرية الاحتمالية الإجمالية هي قانون يجعل من الممكن حساب احتمالية حدث ليس جزءًا من فضاء العينة من الاحتمالات الشرطية لجميع الأحداث في فضاء العينة المذكور.

تقول نظرية الاحتمال الإجمالي أنه بالنظر إلى مجموعة الأحداث {A ₁ , A ₂ ,…, A _n } التي تشكل قسما على فضاء العينة، فإن احتمال الحدث B يساوي مجموع حاصل ضرب احتمال كل منهما الحدث P(A _i ) بالاحتمال الشرطي P(B|A _i ).

ولذلك، فإن صيغة نظرية الاحتمالية الإجمالية هي:

$\displaystyle P(B)=\sum_{i=1}^n P(B|A_i)\cdot P(A_i)$

➤ انظر: مثال على نظرية الاحتمالية الكلية

صيغة نظرية بايز

في نظرية الاحتمالات، نظرية بايز هي قانون يستخدم لحساب احتمالية حدث ما عند معرفة معلومات مسبقة عن هذا الحدث.

تقول نظرية بايز أنه بالنظر إلى مساحة العينة المكونة من مجموعة من الأحداث المتنافية {A ₁ , A ₂ ,…, A _i ,…, A _n } والتي لا تكون احتمالاتها صفرًا وحدث آخر B، يمكننا ربط الشرطية رياضيًا احتمال A _i بالنظر إلى الحدث B مع الاحتمال المشروط لـ B بالنظر إلى A _i .

لذا فإن صيغة نظرية بايز هي كما يلي:

$P(A_i|B)=\cfrac{P(B|A_i)\cdot P(A_i)}{\displaystyle \sum_{k=1}^n P(B|A_k)\cdot P(A_k)}$

➤ انظر: مثال على نظرية بايز

جدول ملخص لجميع الصيغ الاحتمالية

وأخيرًا، نترك لك جدولًا يحتوي على جميع صيغ الاحتمالية كملخص.

➤ انظر: الصيغ الإحصائية

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر