فاصل الثقة

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 3, 2023 إحصائيات 0 Comments

تشرح هذه المقالة المقصود بفاصل الثقة في الإحصائيات وفيم يتم استخدامه. ستجد أيضًا العوامل التي تؤثر على فترات الثقة وكيفية حساب فترة الثقة.

ما هو فاصل الثقة؟

في الإحصاء، فاصل الثقة هو فاصل زمني يعطي تقديرًا تقريبيًا للقيم التي ترتبط بينها قيمة معلمة السكان بمستوى معين من الثقة. تتمتع فترات الثقة الأكثر شيوعًا بمستوى ثقة يبلغ 95% أو 99%.

على سبيل المثال، إذا كان فاصل الثقة لمتوسط مجتمع بمستوى ثقة 95% هو (3.7)، فهذا يعني أن متوسط المجتمع الذي تمت دراسته سيكون بين 3 و7 مع احتمال 95%.

لذلك، يتم استخدام فاصل الثقة لتقدير قيمتين تقع بينهما معلمة سكانية. بشكل عام، قيم المعلمات السكانية غير معروفة، لذلك يتم حساب فاصل الثقة من البيانات الموجودة في العينة للحصول على تقدير للمعلمات السكانية.

العوامل المؤثرة على فترة الثقة

بمجرد أن رأينا تعريف فترة الثقة، سنرى ما هي العوامل التي تعتمد عليها فترات الثقة لفهم المفهوم بشكل أفضل.

حجم العينة : يؤثر عدد الملاحظات المدروسة على دقة فاصل الثقة، حيث أنه كلما زاد عدد البيانات المتوفرة لدينا، زادت إمكانية تقدير القيمة. وبشكل عام، كلما زاد حجم العينة، قل عرض فاصل الثقة.
هامش الخطأ : كلما زاد الخطأ المسموح به، زاد فاصل الثقة، وبالتالي زاد احتمال أن القيمة الحقيقية للمعلمة تقع ضمن فاصل الثقة. ومع ذلك، فإن هامش الخطأ يقلل من دقة فاصل الثقة.
مستوى الثقة : هو احتمال أن يقع تقدير إحصائية السكان ضمن فترة الثقة. عادةً، تتم الإشارة إلى مستوى الثقة للفاصل الزمني بالرمز 1-α ويتم التعبير عنه كنسبة مئوية. يزيد مستوى الثقة العالي من احتمالية وقوع القيمة الحقيقية بين حدود الفاصل الزمني، ولكنه يزيد أيضًا من عرض الفاصل الزمني.
المعلمة المقدرة : يعتمد فاصل الثقة على المعلمة المراد تقريبها. في الواقع، تعتمد الصيغة المستخدمة لحساب فاصل الثقة على المعلمة التقريبية.

كيفية حساب فترة الثقة

يتم عرض الصيغة التي سيتم تطبيقها لحساب كل نوع من فاصل الثقة أدناه، لأنه اعتمادًا على ما إذا كنا نريد تحديد فاصل الثقة للمتوسط أو التباين أو النسبة، تختلف الصيغة المستخدمة.

فاصل الثقة للمتوسط

بدءاً من أن عملية كتابة المتغير تتم على النحو التالي:

$Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$

يتم حساب فاصل الثقة للمتوسط عن طريق إضافة وطرح من متوسط العينة قيمة Z _α/2 مضروبة في الانحراف المعياري (σ) ومقسمة على الجذر التربيعي لحجم العينة (n). ولذلك، فإن صيغة حساب فاصل الثقة للمتوسط هي:

$\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$

بالنسبة لأحجام العينات الكبيرة ومستوى الثقة 95%، تكون القيمة الحرجة هي Z _α/2 = 1.96 وبالنسبة لمستوى الثقة 99%، تكون القيمة الحرجة هي Z _α/2 = 2.576.

يتم استخدام الصيغة أعلاه عندما يكون التباين السكاني معروفًا. ومع ذلك، إذا كان التباين السكاني غير معروف، وهي الحالة الأكثر شيوعًا، يتم حساب فاصل الثقة للمتوسط باستخدام الصيغة التالية:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

ذهب:

$\overline{x}$

هي وسيلة العينة.
$t_{\alpha/2}$

هي قيمة توزيع الطالب لدرجات الحرية n-1 مع الاحتمال α/2.
$s$

هو الانحراف المعياري للعينة.
$n$

هو حجم العينة.

➤ انظر: مثال لحساب فاصل الثقة للمتوسط

فاصل الثقة للتباين

لحساب فاصل الثقة لتباين المجتمع، يتم استخدام توزيع مربع كاي. وبشكل أكثر تحديدًا، فإن صيغة حساب فاصل الثقة للتباين هي:

$\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)$

ذهب:

$n$

هو حجم العينة.
$s$

هو الانحراف المعياري للعينة.
$\chi_{n-1;\alpha/2}$

هي قيمة توزيع مربع كاي بدرجة حرية n-1 لاحتمال أقل من α/2.
$\chi_{n-1;1-\alpha/2}$

هي قيمة توزيع مربع كاي بدرجة حرية n-1 لاحتمال أكبر من 1-α/2.

➤ انظر: مثال لحساب فاصل الثقة للتباين

فاصل الثقة للنسبة

يتم حساب فاصل الثقة للنسبة عن طريق إضافة وطرح من نسبة العينة قيمة Z _α/2 مضروبة في الجذر التربيعي لنسبة العينة (p) مضروبة في 1-p ومقسمة على حجم العينة (n). وبالتالي، فإن صيغة حساب فاصل الثقة للنسبة هي:

$\displaystyle \left(p-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ , \ p+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)$

ذهب:

$p$

هي نسبة العينة
$n$

هو حجم العينة.
$Z_{\alpha/2}$

هو مقدار التوزيع الطبيعي القياسي المطابق لاحتمال α/2. بالنسبة لأحجام العينات الكبيرة ومستوى الثقة 95%، يكون عادةً قريبًا من 1.96، أما بالنسبة لمستوى الثقة 99%، فهو عادةً قريب من 2.576.

➤ انظر: مثال لحساب فاصل الثقة للنسبة

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر

ما هو فاصل الثقة؟

العوامل المؤثرة على فترة الثقة

كيفية حساب فترة الثقة

فاصل الثقة للمتوسط

فاصل الثقة للتباين

فاصل الثقة للنسبة

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

Add a Comment