كيفية إيجاد فترات الثقة في لغة r (مع أمثلة)

فاصل الثقة هو نطاق من القيم التي من المحتمل أن تحتوي على معلمة سكانية بمستوى معين من الثقة.

ويتم حسابه وفقا للصيغة العامة التالية:

فاصل الثقة = (تقدير النقطة) +/- (القيمة الحرجة)* (خطأ قياسي)

تقوم هذه الصيغة بإنشاء فاصل زمني بحد أدنى وحد أعلى، والذي من المحتمل أن يحتوي على معلمة مجتمع بمستوى معين من الثقة:

فاصل الثقة = [الحد الأدنى، الحد الأعلى]

يشرح هذا البرنامج التعليمي كيفية حساب فترات الثقة التالية في R:

1. فاصل الثقة للمتوسط

2. فاصل الثقة للاختلاف في الوسائل

3. فاصل الثقة لنسبة

4. فاصل الثقة للاختلاف في النسب

دعنا نذهب!

مثال 1: فاصل الثقة للمتوسط

نستخدم الصيغة التالية لحساب فترة الثقة للمتوسط :

فاصل الثقة = x +/- t _{n-1، 1-α/2} *(s/√n)

ذهب:

• x : متوسط العينة
• t: القيمة الحرجة t
• s: عينة الانحراف المعياري
• ن: حجم العينة

مثال: لنفترض أننا قمنا بجمع عينة عشوائية من السلاحف بالمعلومات التالية:

• حجم العينة ن = 25
• متوسط وزن العينة س = 300
• نموذج الانحراف المعياري = 18.5

يوضح الكود التالي كيفية حساب فاصل ثقة 95% لمتوسط الوزن الحقيقي لمجموعات السلاحف:

 #input sample size, sample mean, and sample standard deviation
n <- 25
xbar <- 300 
s <- 18.5

#calculate margin of error
margin <- qt(0.975,df=n-1)*s/sqrt(n)

#calculate lower and upper bounds of confidence interval
low <- xbar - margin
low

[1] 292.3636

high <- xbar + margin
high

[1] 307.6364

فاصل الثقة 95% للمتوسط الحقيقي لوزن السلاحف هو [292.36، 307.64] .

مثال 2: فاصل الثقة للاختلاف في الوسائل

نستخدم الصيغة التالية لحساب فاصل الثقة للاختلاف في متوسط عدد السكان :

فترة الثقة = ( x ₁ – x ₂ ) +/- t*√((s _p ² /n ₁ ) + (s _p ² /n ₂ ))

ذهب:

• x ₁ , x ₂ : متوسط العينة 1، متوسط العينة 2
• t: القيمة الحرجة t بناءً على مستوى الثقة و(n ₁ + n ₂ -2) درجات الحرية
• s _p ² : التباين المجمع، محسوب كالتالي ((n ₁ -1)s ₁ ² + (n ₂ -1)s ₂ ² ) / (n ₁ +n ₂ -2)
• t: القيمة الحرجة t
• ن ₁ ، ن ₂ : حجم العينة 1، حجم العينة 2

مثال: لنفترض أننا نريد تقدير الفرق في متوسط الوزن بين نوعين مختلفين من السلاحف. ولذلك قمنا بجمع عينة عشوائية مكونة من 15 سلحفاة من كل مجموعة. فيما يلي البيانات الموجزة لكل عينة:

العينة 1:

• ×1 = ₃₁₀
• ق ₁ = 18.5
• ن ₁ = 15

العينة 2:

• ×2 ₌ 300
• _ق2 = 16.4
• _ن2 = 15

يوضح التعليمة البرمجية التالية كيفية حساب فاصل ثقة 95% للفرق الحقيقي في متوسط عدد السكان:

 #input sample size, sample mean, and sample standard deviation
n1 <- 15
xbar1 <- 310 
s1 <- 18.5

n2 <- 15
xbar2 <- 300
s2 <- 16.4

#calculate pooled variance
sp = ((n1-1)*s1^2 + (n2-1)*s2^2) / (n1+n2-2)

#calculate margin of error
margin <- qt(0.975,df=n1+n2-1)*sqrt(sp/n1 + sp/n2)

#calculate lower and upper bounds of confidence interval
low <- (xbar1-xbar2) - margin
low

[1] -3.055445

high <- (xbar1-xbar2) + margin
high

[1] 23.05544

فترة الثقة 95% للفرق الحقيقي بين متوسطي السكان هي [-3.06, 23.06] .

مثال 3: فاصل الثقة لنسبة ما

نستخدم الصيغة التالية لحساب فاصل الثقة لنسبة ما :

فاصل الثقة = p +/- z*(√ p(1-p) / n )

ذهب:

• ع: نسبة العينة
• z: قيمة z المختارة
• ن: حجم العينة

مثال: لنفترض أننا نريد تقدير نسبة السكان في إحدى المقاطعات الذين يفضلون قانونًا معينًا. نختار عينة عشوائية مكونة من 100 ساكن ونسألهم عن موقفهم من القانون. وهنا النتائج:

• حجم العينة ن = 100
• النسبة لصالح القانون ع = 0.56

يوضح التعليمة البرمجية التالية كيفية حساب فاصل ثقة بنسبة 95% للنسبة الحقيقية لسكان المقاطعة الذين يفضلون القانون:

 #input sample size and sample proportion
n <- 100
p <- .56

#calculate margin of error
margin <- qnorm(0.975)*sqrt(p*(1-p)/n)

#calculate lower and upper bounds of confidence interval
low <- p - margin
low

[1] 0.4627099

high <- p + margin
high

[1] 0.6572901

فاصل الثقة 95% للنسبة الحقيقية للمقيمين على مستوى المقاطعة الذين يفضلون القانون هو [.463, .657] .

مثال 4: فاصل الثقة للاختلاف في النسب

نستخدم الصيغة التالية لحساب فاصل الثقة للاختلاف في النسب :

فاصل الثقة = (ص ₁ –ص ₂ ) +/- ض*√(ص ₁ (1-ص ₁ )/ن ₁ + ص ₂ (1-ص ₂ )/ن ₂ )

ذهب:

• ع ₁ , ع ₂ : نسبة العينة 1, نسبة العينة 2
• z: القيمة الحرجة z بناءً على مستوى الثقة
• ن ₁ ، ن ₂ : حجم العينة 1، حجم العينة 2

مثال: لنفترض أننا نريد تقدير الفرق بين نسبة السكان الذين يدعمون قانونًا معينًا في المقاطعة أ ونسبة الذين يدعمون القانون في المقاطعة ب. فيما يلي البيانات الموجزة لكل عينة:

العينة 1:

• ن ₁ = 100
• ع ₁ = 0.62 (أي 62 نسمة من أصل 100 يؤيدون القانون)

العينة 2:

• _ن2 = 100
• ع ₂ = 0.46 (أي 46 نسمة من أصل 100 يؤيدون القانون)

يوضح الكود التالي كيفية حساب فاصل ثقة بنسبة 95% للفرق الحقيقي في نسبة السكان الذين يدعمون القانون بين المقاطعات:

 #input sample sizes and sample proportions
n1 <- 100
p1 <- .62

n2 <- 100
p2 <- .46

#calculate margin of error
margin <- qnorm(0.975)*sqrt(p1*(1-p1)/n1 + p2*(1-p2)/n2)

#calculate lower and upper bounds of confidence interval
low <- (p1-p2) - margin
low

[1] 0.02364509


high <- (p1-p2) + margin
high

[1] 0.2963549

فاصل الثقة 95% للفرق الحقيقي في نسبة السكان الذين يؤيدون القانون بين المقاطعات هو [0.024، 0.296] .

يمكنك العثور على المزيد من دروس R هنا .