فاصل الثقة للمتوسط

By زومار 3, 2023 إحصائيات 0 Comments

تشرح هذه المقالة ما هو فاصل الثقة للمتوسط في الإحصائيات وما يتم استخدامه من أجله. وبالمثل، سوف تكتشف كيفية حساب فاصل الثقة للمتوسط بالإضافة إلى تمرين خطوة بخطوة.

ما هو فاصل الثقة للمتوسط؟

فاصل الثقة للمتوسط هو فاصل يوفر نطاقًا من القيم المسموح بها لمتوسط المحتوى. بمعنى آخر، يمنحنا فاصل الثقة للمتوسط قيمة قصوى وقيمة دنيا تربط بينهما قيمة متوسط المجتمع بهامش خطأ.

على سبيل المثال، إذا كان فاصل الثقة 95% لمتوسط السكان هو (6.10)، فهذا يعني أن 95% من الوقت سيكون متوسط السكان بين 6 و10.

ولذلك، يتم استخدام فاصل الثقة للمتوسط لتقدير قيمتين يقع بينهما متوسط السكان. وبالتالي، فإن فاصل الثقة للمتوسط مفيد جدًا لتقريب متوسط السكان عندما تكون جميع قيمه غير معروفة.

صيغة فاصل الثقة للمتوسط

بافتراض أن عملية إدخال المتغير تسير على النحو التالي:

Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)

يتم حساب فاصل الثقة للمتوسط عن طريق إضافة وطرح من متوسط العينة قيمة Z α/2 مضروبة في الانحراف المعياري (σ) ومقسمة على الجذر التربيعي لحجم العينة (n). ولذلك، فإن صيغة حساب فاصل الثقة للمتوسط هي:

\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

بالنسبة لأحجام العينات الكبيرة ومستوى الثقة 95%، تكون القيمة الحرجة هي Z α/2 = 1.96 وبالنسبة لمستوى الثقة 99%، تكون القيمة الحرجة هي Z α/2 = 2.576.

يتم استخدام الصيغة أعلاه عندما يكون التباين السكاني معروفًا. ومع ذلك، إذا كان التباين السكاني غير معروف، وهو ما يحدث غالبًا، يتم حساب فاصل الثقة للمتوسط باستخدام الصيغة التالية:

\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)

ذهب:

  • \overline{x}

    هي وسيلة العينة.

  • t_{\alpha/2}

    هي قيمة توزيع الطالب لدرجات الحرية n-1 مع احتمال α/2.

  • s

    هو الانحراف المعياري للعينة.

  • n

    هو حجم العينة.

فاصل الثقة

مثال لحساب فترة الثقة للمتوسط

لكي تتمكن من معرفة كيفية حساب فاصل الثقة لمتوسط عدد السكان، نترك لك أدناه مثالًا تم حله خطوة بخطوة.

  • لدينا عينة مكونة من 8 ملاحظات بالقيم الموضحة أدناه. ما هو متوسط فترة الثقة للسكان عند مستوى ثقة 95٪؟

206 203 201 212
194 176 208 201

كما رأينا في القسم السابق، فإن صيغة الحصول على فاصل الثقة لمتوسط سكاني عندما لا نعرف الانحراف المعياري للسكان هي كما يلي:

\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)

لذا، من أجل تحديد فاصل الثقة للمتوسط، يجب علينا أولاً حساب متوسط العينة والانحراف المعياري.

\begin{array}{c}\mu =200,13 \\[4ex]s=11,13\end{array}

نظرًا لأننا نريد العثور على فاصل الثقة بمستوى ثقة 1-α=95% وحجم العينة هو 8، فنحن بحاجة إلى الوصول إلى جدول توزيع الطالب ومعرفة القيمة التي تتوافق مع t 0.025|7 .

1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025

\begin{array}{c}t_{\alpha/2| n-1}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]t_{0,025| 7}=2,365\end{array}

لذلك نطبق صيغة فاصل الثقة للمتوسط ونقوم بإجراء العمليات الحسابية للعثور على حدود الفاصل الزمني:

\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)

\displaystyle \left(200,13-2,365\cdot \frac{11,13}{\sqrt{8}} \ , \ 200,13+2,365\cdot \frac{11,13}{\sqrt{8}} \right)

\displaystyle \left(190,82 \ , \ 209,43 \right)

في الختام، يخبرنا فاصل الثقة المحسوب أنه عند مستوى ثقة 95%، سيكون متوسط السكان بين 190.82 و209.43.

About Author

دكتور بنيامين أندرسون
دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر

Add a Comment

ایمئیل یایینلانمایاجاق ایسته‎نیله‎ن بوشلوقلار خاللانمیشدیر *