توزيع الأسماك

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 3, 2023 احتمالا 0 Comments

تشرح هذه المقالة ما هو توزيع بواسون في الإحصائيات وفيم يستخدم. لذا، ستجد تعريف توزيع بواسون، وأمثلة على توزيعات بواسون وما هي خصائصها. وأخيرًا، ستتمكن من حساب أي احتمال لتوزيع بواسون باستخدام الآلة الحاسبة المتوفرة على الإنترنت.

ما هو توزيع بواسون؟

توزيع بواسون هو توزيع احتمالي يحدد احتمالية حدوث عدد معين من الأحداث خلال فترة زمنية.

بمعنى آخر، يتم استخدام توزيع بواسون لنمذجة المتغيرات العشوائية التي تصف عدد المرات التي تتكرر فيها الظاهرة خلال فترة زمنية.

يحتوي توزيع بواسون على معلمة مميزة، ممثلة بالحرف اليوناني α وتشير إلى عدد المرات التي من المتوقع أن يحدث فيها الحدث المدروس خلال فترة زمنية معينة.

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

بشكل عام، يتم استخدام توزيع بواسون لنمذجة الأحداث إحصائيًا مع احتمالية حدوثها منخفضة جدًا. يمكنك أدناه رؤية عدة أمثلة لهذا النوع من التوزيع الاحتمالي.

أمثلة على توزيع بواسون

بعد الاطلاع على تعريف توزيع بواسون، إليك عدة أمثلة لتوزيع بواسون.

أمثلة على توزيع بواسون:

عدد الأشخاص الذين يدخلون المتجر خلال ساعة واحدة.
عدد المركبات التي تعبر الحدود بين البلدين في شهر واحد.
عدد المستخدمين الذين يصلون إلى صفحة ويب في يوم واحد.
عدد الأجزاء المعيبة التي ينتجها المصنع في اليوم الواحد.
عدد المكالمات التي يتلقاها مقسم الهاتف في الدقيقة.

صيغة توزيع الأسماك

في توزيع بواسون، احتمالية وقوع أحداث x تساوي الرقم e مرفوعًا للأس -π مضروبًا في α مرفوعًا للأس x ومقسمًا على مضروب x .

لذلك، فإن صيغة حساب احتمالية توزيع بواسون هي:

👉 يمكنك استخدام الآلة الحاسبة أدناه لحساب احتمال وجود متغير يتبع توزيع بواسون.

بما أن توزيع بواسون هو توزيع احتمالي منفصل، لتحديد الاحتمال التراكمي، يجب عليك العثور على احتمالات جميع القيم حتى القيمة المعنية ثم إضافة جميع الاحتمالات المحسوبة.

تمرين محلول على توزيع بواسون

يتبع عدد المنتجات التي تبيعها العلامة التجارية توزيع بواسون بـ 5=5 وحدات/يوم. ما هو احتمال أنك في يوم واحد قمت ببيع 7 وحدات فقط؟ واحتمال أنك بعت في يوم واحد 3 وحدات أو أقل؟

للحصول على الاحتمالات المختلفة التي تتطلبها المشكلة، يجب علينا تطبيق صيغة توزيع بواسون (انظر أعلاه). لذلك، باستخدام هذه الصيغة نحسب احتمالية بيع 7 وحدات في يوم واحد:

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=7]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^7}{7!}\\[2ex]P[X=7]&=0,1044\end{aligned}$

ثانيًا، يطلب منا تحديد الاحتمال التراكمي لبيع 3 وحدات أو أقل. لذلك، لإيجاد هذا الاحتمال، نحتاج إلى حساب احتمال بيع وحدة واحدة ووحدتين و3 وحدات بشكل منفصل ثم جمعهم معًا.

$P[X\leq 3]=P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]$

لذلك، نقوم أولاً بحساب كل احتمال على حدة:

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=1]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^1}{1!}\\[2ex]P[X=1]&=0,0337\end{aligned}$

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=2]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^2}{2!}\\[2ex]P[X=2]&=0,0842\end{aligned}$

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=3]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^3}{3!}\\[2ex]P[X=3]&=0,1404\end{aligned}$

بعد ذلك، نجمع الاحتمالات الثلاثة المحسوبة لتحديد احتمالية بيع ثلاث وحدات أو أقل في اليوم.

$\begin{aligned}P[X\leq 3]&=P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]\\[2ex]P[X\leq 3]&=0,0337+0,0842+0,1404\\[2ex]P[X\leq 3]&=0,2583\end{aligned}$

خصائص توزيع بواسون

في هذا القسم سوف نرى ما هي خصائص توزيع بواسون.

يتم تعريف توزيع بواسون بواسطة معلمة مميزة واحدة، ، والتي تشير إلى عدد المرات التي من المتوقع أن يحدث فيها الحدث المدروس خلال فترة زمنية معينة.

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

متوسط توزيع بواسون يساوي معلمته المميزة π.

$E[X]=\lambda$

وبالمثل، فإن تباين توزيع بواسون يعادل معلمته المميزة π.

$Var(X)=\lambda$

إذا كان π عدداً صحيحاً، فإن نمط توزيع بواسون يكون ثنائي النسق وقيمته هي π و π-1. بدلًا من ذلك، إذا لم يكن lect عددًا صحيحًا، فإن نمط توزيع بواسون هو أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي lect.

$\begin{array}{l}\lambda \in \mathbb{Z} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ Mo=\{\lambda, \lambda-1\} \\[2ex]}\lambda \ \cancel{\in} \ \mathbb{Z} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ Mo=\lfloor\lambda\rfloor\end{array}$

لا توجد صيغة محددة لتحديد متوسط توزيع بواسون، ولكن يمكنك العثور على الفاصل الزمني الخاص به:

$\lambda-\ln 2\leq Me < \lambda +\cfrac{1}{3}$

دالة الاحتمال لتوزيع بواسون هي كما يلي:

$P[X=x]=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}$

تؤدي إضافة متغيرات بواسون العشوائية المستقلة إلى ظهور متغير بواسون عشوائي آخر معلمته المميزة هي مجموع معلمات المتغيرات الأصلية.

$\begin{array}{c}X_i\sim \text{Poisson}(\lambda_i) \quad i=1,\ldots,N\\[2ex] \displaystyle Y=\sum_{i=1}^N X_i\sim \text{Poisson}\left(\sum_{i=1}^N \lambda_i\right)\end{array}$

يمكن تقريب التوزيع ذي الحدين كتوزيع بواسون إذا كان العدد الإجمالي للمشاهدات كبيرًا بدرجة كافية (n≥100)، حيث تكون lect حاصل ضرب المعلمتين المميزتين للتوزيع ذي الحدين.

$X\sim \text{Bin}(n,p)\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ X\sim \text{Poisson}(n\cdot p)$

➤ انظر: خصائص التوزيع ذي الحدين

حاسبة توزيع الأسماك

قم بتوصيل قيمة المعلمة π وقيمة x في الآلة الحاسبة أدناه لحساب الاحتمال. تحتاج إلى تحديد الاحتمالية التي تريد حسابها وإدخال الأرقام باستخدام النقطة كفاصل عشري، على سبيل المثال 0.1667.

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر