معادلة الانحدار

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 2, 2023 إحصائيات 0 Comments

تشرح هذه المقالة ما هي معادلة الانحدار وفيم يتم استخدامها. وبالمثل، سوف تتعلم كيفية العثور على معادلة الانحدار، وتمرينًا تم حله، وأخيرًا، آلة حاسبة عبر الإنترنت لحساب معادلة الانحدار لأي مجموعة بيانات.

ما هي معادلة الانحدار؟

معادلة الانحدار هي المعادلة التي تناسب المخطط النقطي بشكل أفضل، أي أن معادلة الانحدار هي أفضل تقريب لمجموعة من البيانات.

معادلة الانحدار هي من الشكل y=β ₀ +β ₁ x، حيث β ₀ هو ثابت المعادلة وβ ₁ هو ميل المعادلة.

$y=\beta_0+\beta_1x$

إذا نظرت إلى معادلة الانحدار، فهي معادلة الخط. وهذا يعني أن العلاقة بين المتغير المستقل X والمتغير التابع Y تم تصميمها كعلاقة خطية، لأن الخط يمثل علاقة خطية.

لذلك، تسمح لنا معادلة الانحدار بالربط رياضيًا بين المتغير المستقل والمتغير التابع لمجموعة البيانات. على الرغم من أن معادلة الانحدار بشكل عام غير قادرة على تحديد قيمة كل ملاحظة بدقة، إلا أنها تستخدم للحصول على تقدير تقريبي لقيمتها.

كما ترون في الرسم البياني السابق، تساعدنا معادلة الانحدار على رؤية اتجاه مجموعة البيانات ونوع العلاقة الموجودة بين المتغير المستقل والمتغير التابع.

كيفية حساب معادلة الانحدار

الصيغ لحساب معاملات معادلة الانحدار الخطي البسيط هي كما يلي:

$\begin{array}{c}\beta_1=\cfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}\\[12ex]\beta_0=\overline{y}-\beta_1\overline{x}\end{array}$

ذهب:

$\beta_0$

هو ثابت معادلة الانحدار.
$\beta_1$

هو ميل معادلة الانحدار.
$x_i$

هي قيمة المتغير المستقل X للبيانات i.
$y_i$

هي قيمة المتغير التابع Y للبيانات i.
$\overline{x}$

هو متوسط قيم المتغير المستقل
$\overline{y}$

هو متوسط قيم المتغير التابع Y.

مثال لحساب معادلة الانحدار

بعد إجراء اختبار الإحصاء، تم سؤال خمسة طلاب عن عدد ساعات الدراسة التي قضوها في الامتحان، وتظهر البيانات في الجدول أدناه. احسب معادلة الانحدار من البيانات الإحصائية التي تم جمعها لربط ساعات الدراسة خطياً بالدرجة التي تم الحصول عليها. بعد ذلك، حدد الدرجة التي سيحصل عليها الطالب الذي درس 8 ساعات.

للعثور على معادلة الانحدار لبيانات العينة، نحتاج إلى تحديد المعاملين b ₀ وb ₁ للمعادلة، وللقيام بذلك، نحتاج إلى استخدام الصيغ الموضحة في القسم أعلاه.

ومع ذلك، من أجل تطبيق صيغ معادلة الانحدار الخطي، يجب علينا أولاً حساب متوسط المتغير المستقل ومتوسط المتغير التابع:

$\begin{array}{c}\overline{x}=\cfrac{11+5+10+12+7}{5}=9\\[4ex]\overline{y}=\cfrac{7+4+5+8+6}{5}=6\end{array}$

الآن بعد أن عرفنا متوسطات المتغيرات، نحسب المعامل β ₁ للنموذج باستخدام الصيغة المقابلة له:

$\begin{array}{c}\beta_1=\cfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}\\[10ex] \beta_1=\cfrac{\begin{array}{c}(11-9)(7-6)+(5-9)(4-6)+(10-9)(5-6)+\\+(12-9)(8-6)+(7-9)(6-6)\end{array}}{(11-9)^2+(5-9)^2+(10-9)^2+(12-9)^2+(7-9)^2}\\[6ex]\beta_1=0,4412\end{array}$

وأخيرًا، نحسب المعامل β ₀ للنموذج باستخدام الصيغة المقابلة له:

$\begin{array}{l}\beta_0=\overline{y}-\beta_1\overline{x}\\[3ex]\beta_0=6-0,4412\cdot 9 \\[3ex]\beta_0=2,0294\end{array}$

وباختصار فإن معادلة خط الانحدار الخطي للمشكلة هي كما يلي:

$y=2,0294+0,4412x$

يمكنك أدناه رؤية التمثيل الرسومي لبيانات العينة بالإضافة إلى معادلة نموذج الانحدار الخطي البسيط:

بمجرد أن نحسب معادلة الانحدار، للتنبؤ بالدرجة التي سيحصل عليها الطالب الذي درس 8 ساعات، ما عليك سوى استبدال هذه القيمة في معادلة الانحدار الناتجة:

$y=2,0294+0,4412\cdot 8=5,56$

وبالتالي، ووفقاً لنموذج الانحدار الخطي الذي تم تنفيذه، إذا درس الطالب لمدة ثماني ساعات، فإنه سيحصل على درجة 5.56 في الامتحان.

حاسبة معادلة الانحدار

أدخل بيانات نموذجية في الآلة الحاسبة أدناه لحساب معادلة الانحدار الخاصة بك. تحتاج إلى فصل أزواج البيانات، بحيث يوجد في المربع الأول فقط قيم المتغير المستقل X وفي المربع الثاني يوجد فقط قيم المتغير التابع Y.

يجب فصل البيانات بمسافة وإدخالها باستخدام النقطة كفاصل عشري.

معادلة الانحدار الخطي المتعددة

لقد رأينا للتو ما هي معادلة الانحدار الخطي البسيطة، ومع ذلك، يمكن أن يكون نموذج الانحدار أيضًا نموذج انحدار خطي متعدد، والذي يتضمن متغيرين مستقلين أو أكثر. وبالتالي، فإن الانحدار الخطي المتعدد يجعل من الممكن ربط العديد من المتغيرات التوضيحية بمتغير الاستجابة خطيًا.

معادلة نموذج الانحدار الخطي المتعدد هي:

$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+\dots+\beta_m x_m+\varepsilon$

ذهب:

$y$

هو المتغير التابع.
$x_i$

هو المتغير المستقل أنا .
$\beta_0$

هو ثابت معادلة الانحدار الخطي المتعدد.
$\beta_i$

هو معامل الانحدار المرتبط بالمتغير

$x_i$

.
$\bm{\varepsilon}$

هو الخطأ أو المتبقي، أي الفرق بين القيمة المرصودة والقيمة المقدرة بواسطة النموذج.
$m$

هو العدد الإجمالي للمتغيرات في النموذج.

لذلك إذا كان لدينا عينة بإجمالي

$n$

الملاحظات، يمكننا أن نطرح نموذج الانحدار الخطي المتعدد في شكل مصفوفة:

$\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&x_{11}&\dots&x_{1m}\\1&x_{21}&\dots&x_{2m}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&x_{n1}&\dots&x_{nm}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\beta_0\\\beta_1\\\vdots\\\beta_m\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}$

يمكن إعادة كتابة تعبير المصفوفة أعلاه عن طريق تخصيص حرف لكل مصفوفة:

$Y=X\beta+\varepsilon$

وبالتالي، ومن خلال تطبيق معيار المربعات الصغرى، يمكننا الوصول إلى صيغة تقدير معاملات معادلة الانحدار الخطي المتعدد :

$\widehat{\beta}=\left(X^tX\right)^{-1}X^tY$

ومع ذلك، فإن تطبيق هذه الصيغة شاق للغاية ويستغرق وقتًا طويلاً، ولهذا السبب يوصى عمليًا باستخدام برامج الكمبيوتر (مثل Minitab أو Excel) التي تسمح بإنشاء نموذج الانحدار المتعدد بسرعة أكبر.

➤ انظر: ما هو الانحدار الخطي المتعدد؟

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر