ما هي الملكية بلا ذاكرة؟ (التعريف & #038؛ مثال)

في الإحصاء، يقال أن التوزيع الاحتمالي له خاصية عديمة الذاكرة إذا كان احتمال وقوع حدث مستقبلي لا يتأثر بحدوث الأحداث الماضية.

يوجد توزيعان احتماليان فقط بخاصية عديمة الذاكرة:

• التوزيع الأسي بأعداد حقيقية غير سالبة.
• التوزيع الهندسي بأعداد صحيحة غير سالبة.

يتم استخدام هذين التوزيعين الاحتماليين لنمذجة الوقت المتوقع قبل وقوع الحدث.

اتضح أنه في أي وقت من الأوقات، معرفة مقدار الوقت الذي مر بالفعل لا يخبرنا في الواقع ما إذا كان من المرجح أن يحدث حدث ما عاجلاً أم آجلاً.

تساعدنا الأمثلة التالية في الحصول على فكرة أفضل عن الخاصية التي لا تحتوي على ذاكرة.

حدس الملكية بدون ذاكرة

خذ بعين الاعتبار الأمثلة التالية:

ليس بدون ذاكرة

من المعروف أن علامة تجارية معينة من أجهزة الكمبيوتر المحمولة تدوم في المتوسط حوالي 6 سنوات قبل أن تموت. لذلك، إذا علمنا أن عمر جهاز كمبيوتر محمول معين هو 5 سنوات، فإن الوقت المتوقع حتى يموت قصير جدًا. ومع ذلك، إذا كان عمر الكمبيوتر المحمول الآخر عامًا واحدًا فقط، فإن الوقت المتوقع حتى يموت طويل جدًا.

في هذا المثال، معرفة مقدار الوقت الذي مر خلال عمر كل كمبيوتر محمول يخبرنا بالمدة التي سيستمر فيها الكمبيوتر المحمول في العمل حتى يموت. لذا فإن هذا التوزيع الاحتمالي لن يكون له خاصية بدون ذاكرة.

بدون ذاكرة

أعتقد أن جيسيكا تمتلك متجرًا صغيرًا. إنها تريد أن تعرف كم من الوقت سيتعين عليها الانتظار حتى يدخل العميل التالي إلى المتجر.

في هذا المثال، معرفة متى دخل آخر عميل إلى المتجر ليس مفيدًا حقًا للتنبؤ بموعد دخول العميل التالي، لأن كل عميل مستقل ويظهر سلوكًا فرديًا.

لذا فإن هذا التوزيع الاحتمالي سيكون له خاصية بلا ذاكرة. وبعبارة أخرى، فإن احتمال وقوع حدث مستقبلي لا يتأثر بوقوع الأحداث الماضية.

خاصية بلا ذاكرة: تعريف رسمي

من الناحية الإحصائية الرسمية، يقال إن المتغير العشوائي X يتبع توزيعًا احتماليًا بخاصية بدون ذاكرة إذا كان لـ a و b   في {0، 1، 2، …} صحيح أن:

العلاقات العامة(X > أ + ب | X ≥ أ ) = العلاقات العامة(X > ب )

على سبيل المثال، لنفترض أن لدينا توزيعًا احتماليًا بخاصية لا تحتوي على ذاكرة وأن X هو عدد المحاولات حتى النجاح الأول. إذا كان أ = 30 و ب = 10 فسنقول:

• العلاقات العامة(X > أ + ب | X ≥ أ ) = العلاقات العامة(X > ب )
• العلاقات العامة(X > 30 + 10 | X ≥ 30 ) = العلاقات العامة(X > 10)
• العلاقات العامة(X > 40 | X ≥ 30 ) = العلاقات العامة(X > 10)

بمعنى آخر، إذا أجرينا 30 تجربة غير ناجحة، فإن احتمالية انتظارنا حتى التجربة رقم 40 أو ما بعدها لتجربة النجاح هي نفس احتمالية البدء من الصفر والانتظار حتى التجربة رقم 10. أو أكثر لتحقيق النجاح.

وبما أن هذا التوزيع الاحتمالي له خاصية بلا ذاكرة، فهذا يعني أن معرفة عدد حالات الفشل التي واجهناها حتى نقطة معينة لا يخبرنا عن احتمال الفشل في المستقبل.

الخاصية التي لا تحتوي على ذاكرة: مثال

لنفترض أنه في المتوسط، يدخل 30 عميلاً إلى المتجر في الساعة، وأن الوقت بين عمليات الوصول يتم توزيعه بشكل كبير. في المتوسط، تمر دقيقتين بين الزيارات المتعاقبة.

بافتراض مرور 10 دقائق منذ وصول آخر عميل. ونظرًا لأن هذه فترة زمنية طويلة بشكل غير معتاد، فمن المرجح أن يصل العميل خلال دقيقة واحدة.

ومع ذلك، بما أن التوزيع الأسي له خاصية بلا ذاكرة، فإن هذا لا يكون هو الحال. الوقت المستغرق في انتظار وصول العميل التالي لا يعتمد على الوقت المنقضي منذ وصول آخر عميل.

يمكننا إثبات ذلك باستخدام CDF للتوزيع الأسي:

CDF: 1 – e ^{– lectx}

حيث يتم حساب  كـ 1/متوسط الوقت بين الوصول. في مثالنا، lect = 1/2 = 0.5.

إذا وضعنا a = 10 و b = 1، فلدينا:

• العلاقات العامة(X > أ + ب | X ≥ أ ) = العلاقات العامة(X > ب )
• العلاقات العامة( ^X > 10 + 1 |

بغض النظر عن مقدار الوقت الذي مر منذ وصول آخر عميل، فإن احتمال مرور أكثر من دقيقة قبل الوصول التالي هو 0.6065 .