أحداث منفصلة أو مستقلة: ما الفرق؟

المصطلحان اللذان يخلط بينهما الطلاب في كثير من الأحيان هما مصطلحان منفصلان ومستقلان .

وهنا الفرق في بضع كلمات:

يقال أن حدثين منفصلين إذا لم يكن من الممكن حدوثهما في نفس الوقت.

يقال إن حدثين مستقلين إذا لم يكن لحدوث حدث واحد تأثير على احتمال وقوع الحدث الآخر.

توضح الأمثلة التالية الفرق بين هذين المصطلحين في سيناريوهات مختلفة.

مثال 1: اقلب عملة معدنية

السيناريو 1: لنفترض أننا نقلب عملة معدنية مرة واحدة. إذا عرفنا الحدث A بأنه هبوط العملة على الرؤوس وقمنا بتعريف الحدث B على أنه هبوط العملة على الرؤوس، فإن الحدث A والحدث B منفصلان لأن العملة لا يمكن أن تهبط على الرؤوس والسطح .

السيناريو 2 : لنفترض أننا نقلب عملة معدنية مرتين. إذا قمنا بتعريف الحدث A على أنه هبوط العملة على الوجه في الرمية الأولى وقمنا بتعريف الحدث B على أنه هبوط العملة على الوجه في الرمية الثانية، فإن الحدث A والحدث B مستقلان لأن نتيجة التعادل لا تؤثر على النتيجة من جهة أخرى.

المثال 2: رمي حجر النرد

السيناريو 1: لنفترض أننا ألقينا حجر النرد مرة واحدة. إذا جعلنا الحدث A هو الحدث الذي سقط فيه النرد على رقم زوجي والحدث B هو الحدث الذي سقط فيه النرد على رقم فردي، فإن الحدث A والحدث B منفصلان لأن النرد لا يمكن أن يستقر على رقم زوجي وفردي الرقم في نفس الوقت.

السيناريو 2 : لنفترض أننا ألقينا حجر النرد مرتين. إذا قمنا بتعريف الحدث A على أنه سقوط النرد على الرقم “5” في اللفة الأولى وقمنا بتعريف الحدث B على أنه سقوط النرد على الرقم “5” في اللفة الثانية، فإن الحدث A والحدث B مستقلان لأن نتيجة واحد رمي النرد لا يؤثر على نتيجة الآخر.

مثال 3: اختيار البطاقة

السيناريو 1: لنفترض أننا اخترنا بطاقة من مجموعة قياسية مكونة من 52 بطاقة. إذا تركنا الحدث A هو حدث أن البطاقة هي بستوني وتركنا الحدث ب هو حدث أن البطاقة هي ماسة، فإن الحدث أ والحدث ب منفصلان لأن البطاقة لا يمكن أن تكون بستوني وماسية . في نفس الوقت.

السيناريو 2 : لنفترض أننا اخترنا بطاقة من مجموعة قياسية مكونة من 52 بطاقة مرتين على التوالي مع الاستبدال. إذا قمنا بتعريف الحدث A على أنه البطاقة هي الأشياء بأسمائها الحقيقية في السحب الأول وقمنا بتعريف الحدث B على أنه البطاقة هي الأشياء بأسمائها الحقيقية في السحب الثاني، فإن الحدث A والحدث B مستقلان لأن نتيجة سحب واحد لا تؤثر على النتيجة من جهة أخرى.

تدوين الاحتمال: أحداث منفصلة أو أحداث مستقلة

وبالكتابة بالرمز الاحتمالي، نقول إن الحدثين A وB منفصلان إذا كانتقاطعهما صفرًا. يمكن كتابة هذا على النحو التالي:

• ف(أ∩ب) = 0

على سبيل المثال، لنفترض أننا ألقينا حجر النرد مرة واحدة. لنفترض أن الحدث A هو الحدث الذي سقط فيه حجر النرد على رقم زوجي، والحدث B هو الحدث الذي سقط فيه حجر النرد على رقم فردي.

ويمكننا تعريف فضاء العينة للأحداث على النحو التالي:

• أ = {2، 4، 6}
• ب = {1، 3، 5}

لاحظ أنه لا يوجد تداخل بين المساحتين اللتين تم أخذ عينات منهما. وبالتالي، فإن الحدثين A وB هما حدثان منفصلان لأنهما لا يمكن أن يحدثا في نفس الوقت.

لذا يمكننا أن نكتب:

• ف(أ∩ب) = 0

وبالمثل، عند الكتابة بالرمز الاحتمالي، نقول إن الحدثين A وB مستقلان إذا كان ما يلي صحيحًا:

• ف(أ∩ب) = ف(أ) * ف(ب)

على سبيل المثال، لنفترض أننا رمينا حجر النرد مرتين. دع الحدث A هو الحدث الذي يقع فيه النرد على الرقم “5” في اللفة الأولى، ودع الحدث B هو الحدث الذي يقع فيه النرد على الرقم “5” في اللفة الثانية.

إذا كتبنا جميع الطرق الـ 36 الممكنة لسقوط النرد، فسنجد أنه في سيناريو واحد فقط من أصل 36 سيناريو، هبط النرد على الرقم “5” في المرتين. إذن، نقول P(A∩B) = 1/36.

ونعلم أيضًا أن احتمال سقوط حجر النرد على الرقم “5” في الرمية الأولى هو P(A) = 1/6.

ونعلم أيضًا أن احتمال سقوط حجر النرد على الرقم “5” في الرمية الثانية هو P(B) = 1/6.

لذا يمكننا أن نكتب:

• ف(أ∩ب) = ف(أ) * ف(ب)
• 1/36 = 1/6 * 1/6
• 1/36 = 1/36

وبما أن هذه المعادلة صحيحة، فيمكننا القول إن الحدث A والحدث B مستقلان في هذا السيناريو.

مصادر إضافية

توفر البرامج التعليمية التالية معلومات إضافية حول المصطلحات الإحصائية المختلفة:

ما هي الأحداث المنفصلة؟ (تعريف وأمثلة)
أحداث شاملة أو متنافية