نظرية الحد المركزي: تعريف + أمثلة

تنص نظرية الحد المركزي على أن توزيع المعاينة لمتوسط العينة يكون طبيعيًا تقريبًا إذا كان حجم العينة كبيرًا بدرجة كافية، حتى لو كان توزيع السكان غير طبيعي .

تنص نظرية الحد المركزي أيضًا على أن توزيع العينات سيكون له الخصائص التالية:

1. سيكون متوسط توزيع العينة مساوياً لمتوسط توزيع السكان:

س = μ

2. سيكون تباين توزيع العينة مساوياً لتباين توزيع السكان مقسوماً على حجم العينة:

^s2 = ^σ2 /ن

أمثلة على نظرية الحد المركزي

وفيما يلي بعض الأمثلة لتوضيح نظرية الحد المركزي في الممارسة العملية.

التوزيع الموحد

لنفترض أن عرض قوقعة السلحفاة يتبع توزيعًا موحدًا بحد أدنى للعرض يبلغ 2 بوصة والحد الأقصى للعرض 6 بوصات. أي أننا إذا اخترنا سلحفاة عشوائيًا وقمنا بقياس عرض صدفتها، فمن المحتمل أيضًا أن يتراوح عرضها بين 2 و6 بوصات.

إذا قمنا بعمل رسم بياني لتمثيل توزيع عرض أصداف السلحفاة، فسيبدو كما يلي:

متوسط التوزيع الموحد هو μ = (b+a) / 2 حيث b هي أكبر قيمة ممكنة و a هي أصغر قيمة ممكنة. في هذه الحالة يكون (6+2) / 2 = 4.

تباين التوزيع الموحد هو ^σ2 = (ba) ^2/12 . وفي هذه الحالة يكون (6-2) ^2/12 = 1.33

أخذ عينات عشوائية عددها 2 من التوزيع الموحد

تخيل الآن أننا أخذنا عينة عشوائية من سلحفاتين من هذه المجموعة وقمنا بقياس عرض قوقعة كل سلحفاة. لنفترض أن عرض قوقعة السلحفاة الأولى 3 بوصات والثانية 6 بوصات. يبلغ متوسط عرض هذه العينة المكونة من سلحفاتين 4.5 بوصة.

بعد ذلك، تخيل أننا أخذنا عينة عشوائية أخرى مكونة من سلحفاتين من هذه المجموعة وقمنا بقياس عرض صدفة كل سلحفاة مرة أخرى. لنفترض أن قوقعة السلحفاة الأولى يبلغ عرضها 2.5 بوصة والثانية يبلغ عرضها 2.5 بوصة أيضًا. يبلغ متوسط عرض هذه العينة المكونة من سلحفاتين 2.5 بوصة.

تخيل أننا نستمر في أخذ عينات عشوائية من سلحفاتين مرارًا وتكرارًا ونستمر في إيجاد متوسط عرض الصدفة في كل مرة.

إذا قمنا بعمل رسم بياني لتمثيل متوسط عرض الصدفة لكل هذه العينات المأخوذة من سلحفاتين، فسيبدو كما يلي:

وهذا ما يسمى بتوزيع المعاينة لوسائل العينة لأنه يوضح توزيع وسائل العينة.

متوسط توزيع العينات هو x = μ = 4

تباين توزيع العينات هذا هو ^s2 = ^σ2 / n = 1.33 / 2 = 0.665

أخذ عينات عشوائية عددها 5 من التوزيع الموحد

الآن تخيل أننا نكرر نفس التجربة، ولكن هذه المرة نأخذ عينات عشوائية من 5 سلاحف مرارًا وتكرارًا ونجد متوسط عرض الصدفة في كل مرة.

إذا قمنا بعمل رسم بياني لتمثيل متوسط عرض الصدفة لجميع هذه العينات المكونة من 5 سلاحف، فسيبدو كما يلي:

لاحظ أن هذا التوزيع له شكل “جرس” يشبه التوزيع الطبيعي . وذلك لأنه عندما نأخذ عينات من 5، يكون التباين بين متوسطات العينة لدينا أقل بكثير، لذلك من غير المرجح أن نحصل على عينات بمتوسط قريب من 2 بوصة أو 6 بوصات وأكثر احتمالا للحصول على عينات يبلغ متوسطها ما يقرب من 2 بوصة أو 6 بوصات. 6 انشات، بوصات. المتوسط أقرب إلى متوسط السكان الفعلي بمقدار 4 بوصات.

متوسط توزيع العينات هو x = μ = 4

تباين توزيع العينات هذا هو ^s2 = ^σ2 / n = 1.33 / 5 = 0.266

أخذ عينات عشوائية عددها 30 عينة من التوزيع الموحد

تخيل الآن أننا نكرر نفس التجربة، ولكن هذه المرة نأخذ عينات عشوائية من 30 سلحفاة مرارًا وتكرارًا ونجد متوسط عرض الصدفة في كل مرة.

إذا قمنا بعمل رسم بياني لتمثيل متوسط عرض الصدفة لكل هذه العينات المكونة من 30 سلحفاة، فسيبدو كما يلي:

لاحظ أن توزيع العينات هذا هو على شكل جرس أكثر وأضيق بكثير من التوزيعين السابقين.

متوسط توزيع العينات هو x = μ = 4

تباين توزيع العينات هذا هو ^s2 = ^σ2 / n = 1.33 / 30 = 0.044

توزيع مربع كاي

لنفترض أن عدد الحيوانات الأليفة لكل أسرة في مدينة معينة يتبع توزيع مربع كاي بثلاث درجات من الحرية. إذا قمنا بعمل رسم بياني لتمثيل توزيع الحيوانات حسب الأسرة، فسيبدو كما يلي:

متوسط توزيع مربع كاي هو ببساطة عدد درجات الحرية (df). في هذه الحالة μ = 3 .

تباين توزيع مربع كاي هو 2 * df. في هذه الحالة ^σ2 = 2 * 3 = 6 .

أخذ عينات عشوائية عدد 2

تخيل أننا أخذنا عينة عشوائية من عائلتين من هؤلاء السكان وقمنا بإحصاء عدد الحيوانات الأليفة في كل عائلة. لنفترض أن العائلة الأولى لديها 4 حيوانات أليفة، والعائلة الثانية لديها حيوان أليف واحد. متوسط عدد الحيوانات الأليفة لهذه العينة المكونة من عائلتين هو 2.5.

ثم تخيل أننا نأخذ عينة عشوائية أخرى مكونة من عائلتين من هذه المجموعة السكانية ونحسب عدد الحيوانات الأليفة في كل عائلة مرة أخرى. لنفترض أن العائلة الأولى لديها 6 حيوانات أليفة، والعائلة الثانية لديها 4 حيوانات أليفة. متوسط عدد الحيوانات الأليفة لهذه العينة المكونة من عائلتين هو 5.

تخيل أننا نستمر في أخذ عينات عشوائية من عائلتين مرارًا وتكرارًا ونستمر في العثور على متوسط عدد الحيوانات الأليفة في كل مرة.

إذا قمنا بعمل رسم بياني لتمثيل متوسط عدد الحيوانات الأليفة لجميع هذه العينات من عائلتين، فسيبدو كما يلي:

متوسط توزيع العينات هذا هو x = μ = 3

تباين توزيع العينات هذا هو s ² = σ ² / n = 6 / 2 = 3

أخذ عينات عشوائية من 10

الآن تخيل أننا نكرر نفس التجربة، ولكن هذه المرة نأخذ عينات عشوائية من 10 عائلات مرارًا وتكرارًا وفي كل مرة نجد متوسط عدد الحيوانات لكل عائلة.

إذا قمنا بعمل رسم بياني لتمثيل متوسط عدد الحيوانات لكل عائلة في كل هذه العينات المكونة من 10 عائلات، فسيبدو الأمر كما يلي:

متوسط توزيع العينات هذا هو x = μ = 3

تباين توزيع العينات هذا هو ^s2 = ^σ2 / n = 6/10 = 0.6

أخذ عينات عشوائية من 30

الآن تخيل أننا نكرر نفس التجربة، ولكن هذه المرة نأخذ عينات عشوائية من 30 عائلة مرارًا وتكرارًا وفي كل مرة نجد متوسط عدد الحيوانات لكل عائلة.

إذا قمنا بعمل رسم بياني لتمثيل متوسط عدد الحيوانات لكل عائلة عبر كل هذه العينات المكونة من 30 عائلة، فسيبدو الأمر كما يلي:

متوسط توزيع العينات هذا هو x = μ = 3

تباين توزيع العينات هذا هو ^s2 = ^σ2 / n = 6/30 = 0.2

ملخص

فيما يلي أهم الوجبات السريعة من هذين المثالين:

• يكون توزيع المعاينة لمتوسط العينة طبيعياً تقريباً إذا كان حجم العينة كبيراً بدرجة كافية، حتى لو كان توزيع السكان غير طبيعي . في المثالين أعلاه، لم يكن التوزيع الموحد ولا توزيع مربع كاي طبيعيًا (لم يكنا على شكل “جرس” على الإطلاق)، ولكن عندما أخذنا عينة كبيرة بما فيه الكفاية، تحول توزيع متوسط العينة إلى ما يبدو تكون طبيعية.
• كلما زاد حجم العينة، قل تباين متوسط العينة.

تعريف “كبير بما فيه الكفاية”

تذكر أن نظرية الحد المركزي تنص على أن توزيع المعاينة لمتوسط العينة يكون طبيعيًا تقريبًا إذا كان حجم العينة “كبيرًا بدرجة كافية” ، حتى لو كان توزيع السكان غير طبيعي.

لا يوجد تعريف دقيق لمدى حجم العينة لتطبيق نظرية الحد المركزي، ولكن بشكل عام يعتمد ذلك على انحراف التوزيع السكاني الذي تأتي منه العينة:

• إذا كان توزيع السكان متماثلا، فإن حجم عينة صغير يصل إلى 15 يكون كافيا في بعض الأحيان.
• إذا كان توزيع السكان منحرفا، فمن الضروري عادة عينة لا تقل عن 30 شخصا.
• إذا كان توزيع السكان منحرفا للغاية، فقد يكون من الضروري أخذ عينة من 40 شخصا أو أكثر.

راجع هذا البرنامج التعليمي حول تكييف عينة كبيرة لمزيد من المعلومات حول هذا الموضوع.