فهم شكل التوزيع ذي الحدين

يصف التوزيع ذو الحدين احتمالية الحصول على نجاحات k في تجارب ذات الحدين.

إذا كان المتغير العشوائي X يتبع التوزيع ذي الحدين، فيمكن العثور على احتمال نجاح X = k من خلال الصيغة التالية:

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

ذهب:

• ن: عدد التجارب
• ك: عدد النجاحات
• ع: احتمال النجاح في تجربة معينة
• _n C _k : عدد الطرق للحصول على نجاحات k في التجارب n

يميل التوزيع الاحتمالي ذو الحدين إلى أن يكون على شكل جرس عند حدوث واحد أو أكثر من الشرطين التاليين:

1. حجم العينة (ن) كبير.

2. احتمال نجاح تجربة معينة (ع) يقترب من 0.5.

ومع ذلك، فإن التوزيع الاحتمالي ذي الحدين يميل إلى الانحراف عندما لا يحدث أي من هذه الشروط. ولتوضيح ذلك خذ الأمثلة التالية:

مثال 1: حجم العينة (n) كبير

يعرض الرسم البياني التالي التوزيع الاحتمالي عندما يكون n = 200 و p = 0.5 .

يعرض المحور السيني عدد النجاحات التي تزيد عن 200 تجربة، ويعرض المحور الصادي احتمالية حدوث هذا العدد من النجاحات.

وبما أن (1) حجم العينة كبير و (2) احتمال نجاح تجربة معينة يقترب من 0.5، فإن التوزيع الاحتمالي يكون على شكل جرس.

حتى عندما لا يقترب احتمال نجاح تجربة معينة (p) من 0.5، فإن التوزيع الاحتمالي سيظل على شكل جرس طالما أن حجم العينة (n) كبير. لتوضيح ذلك، خذ بعين الاعتبار السيناريوهين التاليين عندما تكون p = 0.2 وp = 0.8.

لاحظ كيف يكون التوزيع الاحتمالي على شكل جرس في كلا السيناريوهين.

مثال 2: احتمال النجاح (p) يقترب من 0.5

يعرض الرسم البياني التالي التوزيع الاحتمالي عندما يكون n = 10 و p = 0.4 .

على الرغم من أن حجم العينة (ن = 10) صغير، إلا أن التوزيع الاحتمالي يظل على شكل جرس لأن احتمال نجاح تجربة معينة (ع = 0.4) يقترب من 0.5.

مثال 3: التوزيعات المنحرفة ذات الحدين

عندما لا يكون (1) حجم العينة كبيرًا ولا (2) يكون احتمال نجاح تجربة معينة قريبًا من 0.5، فإن توزيع الاحتمالية ذي الحدين سوف ينحرف إلى اليسار أو اليمين.

على سبيل المثال، الرسم البياني التالي يوضح التوزيع الاحتمالي عندما يكون n = 20 و p = 0.1 .

لاحظ كيف ينحرف التوزيع إلى اليمين.

ويوضح الرسم البياني التالي التوزيع الاحتمالي عندما يكون n = 20 و p = 0.9 .

لاحظ كيف ينحرف التوزيع إلى اليسار.

الحواشي الختامية

تم إنشاء كل من الرسوم البيانية الواردة في هذه المقالة باستخدام لغة البرمجة الإحصائية R. تعلم كيفية رسم التوزيعات الاحتمالية ذات الحدين الخاصة بك في R باستخدام هذا البرنامج التعليمي .