وظيفة التوزيع

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 5, 2023 احتمالا 0 Comments

ستجد في هذه المقالة شرح دالة التوزيع وكيفية حساب قيمها ومثال واقعي لدالة التوزيع. بالإضافة إلى ذلك، سوف تكون قادرًا على رؤية الاختلافات بين دالة التوزيع ودالة الكثافة.

ما هي وظيفة التوزيع؟

دالة التوزيع ، والتي تسمى أيضًا دالة التوزيع التراكمي ، هي دالة رياضية تشير إلى الاحتمال التراكمي للتوزيع. أي أن صورة دالة التوزيع لأي قيمة تساوي احتمال أن يأخذ المتغير تلك القيمة أو قيمة أقل.

يمكن أيضًا الإشارة إلى دالة التوزيع التراكمي بالاختصار FDA، على الرغم من أن رمزها المعتاد هو الحرف الكبير F.

وبالتالي يتم تعريف وظيفة التوزيع بالصيغة التالية:

$F(x)=P[X\leq x]$

كيفية حساب دالة التوزيع

نشرح بعد ذلك كيفية حساب قيمة دالة التوزيع اعتمادًا على ما إذا كان التوزيع الاحتمالي منفصلاً أم مستمرًا.

صندوق سري

إذا كان المتغير العشوائي منفصلاً، فإن دالة التوزيع التراكمي تساوي مجموع احتمالات جميع القيم التي تساوي أو تقل عن x .

$\displaystyle F(x)=P[X\leq x]=\sum_{u\leq x}f(u)$

ذهب

$f(u)$

هي دالة الاحتمال المرتبطة بالمتغير المنفصل.

استمرار القضية

إذا كان المتغير العشوائي مستمرًا، فإن دالة التوزيع التراكمي تعادل تكامل دالة الكثافة من سالب ما لا نهاية إلى القيمة المعنية.

$\displaystyle F(x)=P[X\leq x]=\int_{-\infty}^{x}f(u)du$

ذهب

$f(u)$

هي دالة الكثافة المرتبطة بالمتغير المستمر.

مثال على وظيفة التوزيع

الآن بعد أن عرفنا تعريف دالة التوزيع، دعونا نلقي نظرة على مثال عملي خطوة بخطوة لمعرفة كيفية حساب قيمة دالة التوزيع.

احسب دالة التوزيع للتجربة العشوائية المتمثلة في رمي قطعة نقود أربع مرات.

لحل التمرين، عليك أولاً حساب جميع الاحتمالات المرتبطة بعدد الصور التي تم الحصول عليها أثناء رمي العملات الأربعة:

وبالتالي، نظرًا لأنه متغير منفصل، لتحديد صور دالة التوزيع، يكفي إضافة الاحتمالات إلى قيمة المتغير المعني:

$\begin{array}{l}F(X\leq 0)=f(0)=0,0625\\[4ex]\begin{aligned}F(X\leq 1)& =f(0)+f(1)\\[1.1ex] & =0,0625+0,25=0,3125\end{aligned}\\[6ex]\begin{aligned}F(X\leq 2)& =f(0)+f(1)+f(2)\\[1.1ex] & =0,0625+0,25+0,375=0,6875\end{aligned}\\[6ex]\begin{aligned}F(X\leq 3)& =f(0)+f(1)+f(2)+f(3)\\[1.1ex] & =0,0625+0,25+0,375+0,25=0,9375\end{aligned}\\[6ex]\begin{aligned}F(X\leq 4)& =f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)\\[1.1ex] & =0,0625+0,25+0,375+0,25+0,0625=1\end{aligned}\end{array}$

وبذلك تكون قيم دالة التوزيع لتقليب الرأس بقذف أربع قطع نقدية مستقلة كما يلي:

خصائص وظيفة التوزيع

بغض النظر عن نوع المتغير، فإن دالة التوزيع تتمتع دائمًا بالخصائص التالية:

تتراوح قيمة دالة التوزيع التراكمي بين 0 و1 ضمناً.

$0\leq F(x) \leq 1$

نهاية دالة التوزيع عندما تتجه x إلى ما لا نهاية تساوي 1.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty} F(x)=1$

ومن ناحية أخرى، فإن نهاية دالة التوزيع عندما تقترب x من ما لا نهاية هي صفر.

$\displaystyle\lim_{x\to -\infty} F(x)=0$

من خلال خصائصها، وظيفة التوزيع رتيبة وغير متناقصة.

$x_1 \leq x_2 \implies F(x_1)\leq F(x_2)$

وعلاوة على ذلك، إذا
$a\leq b$

تم استيفاء المعادلات التالية.

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{array}{l}P(X < a) = F(a^-)\\[2ex] P(X>a)=1-F(a)\\[2ex]P(X \ge a )=1-F(a^-)\\[2ex]P(a<ul><li> Finally, if the statistical variable is continuous, the following equality is satisfied: </li></ul>[latex ]\begin{array}{l}P(a \le X < b) = \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx = F(b)- F(a)\end{array}

*** Error message:
Missing $ inserted.
leading text: \begin{array}{l}
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ... the statistical variable is continuous, the
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...iable statistic is continuous, equality
\begin{array} on input line 8 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Improper \prevdepth.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Missing \cr inserted.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
You can't use `\end' in internal vertical mode.
leading text: \end{document}
\begin{array} on input line 8 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}

وظيفة التوزيع ووظيفة الكثافة

أخيرًا، سنرى ما هو الفرق بين دالة التوزيع ودالة الكثافة، حيث غالبًا ما يتم الخلط بين هاتين الفكرتين الإحصائيتين.

الفرق بين دالة التوزيع ودالة الكثافة هو نوع الاحتمال الذي تحدده. تصف دالة الكثافة احتمال أن يأخذ المتغير قيمة معينة، بينما تصف دالة التوزيع الاحتمال التراكمي للمتغير.

أي أنه يتم استخدام دالة التوزيع لحساب احتمال أن يكون المتغير يساوي أو أقل من قيمة معينة.

لاحظ أن دالة الكثافة تشير فقط إلى المتغيرات المستمرة، لذا فإن هذا التمييز يكون منطقيًا فقط إذا كان المتغير قيد الدراسة مستمرًا.

لاحظ كيف يتغير التمثيل الرسومي لوظيفة التوزيع مقارنة بوظيفة الكثافة لمتغير يتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط 1 وانحراف معياري قدره 0.5:

لمعرفة المزيد حول دالة الكثافة، راجع المقالة التالية:

➤ انظر: وظيفة الكثافة

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر