伯努利分布
本文解释了什么是伯努利分布及其公式。此外,您还将找到伯努利分布的属性和已解决的练习,以更好地理解其含义。
什么是伯努利分布?
伯努利分布,也称为二分分布,是一种概率分布,表示只能有两种结果的离散变量:“成功”或“失败”。
在伯努利分布中,“成功”是我们期望的结果,其值为 1,而“失败”的结果是与预期不同的结果,其值为 0。因此,如果“结果的概率” “成功”的结果为p ,“失败”结果的概率为q=1-p 。
伯努利分布以瑞士统计学家雅各布·伯努利的名字命名。
在统计学中,伯努利分布主要有一个应用:定义实验的概率,其中只有两种可能的结果:成功和失败。因此,使用伯努利分布的实验称为伯努利测试或伯努利实验。
伯努利分布公式
如果p是“成功”结果发生的概率,则伯努利分布的概率等于p提高到x乘以1-p提高到1-x 。因此,伯努利分布的概率可以使用以下公式计算:
请注意,在伯努利分布中, x的值只能为 0(失败)或 1(成功)。
另一方面,前面的公式也可以用下面的等价表达式来写:
伯努利分布示例
现在我们知道了伯努利分布的定义及其公式是什么,让我们看一个伯努利分布的具体例子。
- 要赢得游戏,玩家必须掷骰子并得到 2,否则另一玩家将赢得游戏,因此游戏就会失败。计算成功和失败的概率。
一个骰子有六种可能的结果(1、2、3、4、5、6),因此在本例中实验的样本空间为:
在我们的例子中,唯一成功的情况是得到数字 2,因此应用拉普拉斯规则时成功的概率等于 1 除以可能结果的总数 (6):
另一方面,如果掷骰子时出现另一个数字,则实验结果将被视为失败,因为玩家将输掉游戏。因此,该概率等于一减去先前计算的概率:
简而言之,本实验的伯努利分布由以下表达式定义:
如下所示,伯努利分布的概率也可以通过应用上面的公式得出:
伯努利分布的特征
以下是伯努利分布的最重要特征。
- 伯努利分布只能取值 1(成功)或 0(失败)。
- 伯努利分布的平均值相当于“成功”结果发生的概率。
- 伯努利分布的方差可以通过结果“成功”和“失败”发生的概率相乘来计算。或者,等价地,方差是p乘以1-p 。
- 伯努利分布众数的值取决于“成功”和“失败”的概率。因此,这种分布的模式由以下表达式定义:
*** QuickLaTeX cannot compile formula: \displaystyle Mo=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } q>p\\[2ex]0 \ ;1 & \text{si } q=p\\[2ex] 1 & \text{si } q<ul><li> The formula for the probability function of a Bernoulli distribution is as follows:</li></ul>[latex] \displaystyle P[X=x]= \left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right. *** Error message: Missing $ inserted. leading text: \displaystyle Please use \mathaccent for accents in math mode. leading text: ...> The formula for the probability function \begin{array} on input line 8 ended by \end{document}. leading text: \end{document} Improper \prevdepth. leading text: \end{document} Missing $ inserted. leading text: \end{document} Missing } inserted. leading text: \end{document} Missing \cr inserted. leading text: \end{document} Missing $ inserted. leading text: \end{document} You can't use `\end' in internal vertical mode. leading text: \end{document} \begin{array} on input line 8 ended by \end{document}. leading text: \end{document} Missing } inserted. leading text: \end{document} Emergency stop.
- 另一方面,伯努利分布的累积概率函数由以下表达式定义:
- 伯努利分布的不对称系数通过以下表达式计算:
- 同样,伯努利分布的峰度取决于参数p的值,可以通过应用以下公式找到:
伯努利分布和二项式分布
在本节中,我们将看到伯努利分布和二项分布之间的区别,因为它们是两种相关的概率分布。
二项式分布计算从一组伯努利试验中获得的“成功”结果的数量。这些伯努利实验必须是独立的,但必须具有相同的成功概率。
因此,二项分布是遵循伯努利分布的一组变量的总和,所有变量均由相同的参数p定义。
因此,在伯努利分布中只有一个伯努利实验,而在二项分布中则有一系列伯努利实验。