平均值的置信区间

经过本杰明·安德森博 8月 3, 2023 统计数据 0 条评论

本文解释了统计学中均值的置信区间是什么以及它的用途。同样，您将了解如何计算平均值的置信区间以及分步练习。

平均值的置信区间是多少？

均值的置信区间是为总体均值提供允许值范围的区间。换句话说，平均值的置信区间为我们提供了最大值和最小值，它们之间将总体平均值与误差幅度联系起来。

例如，如果总体平均值的 95% 置信区间为 (6.10)，则这意味着 95% 的情况下总体平均值将在 6 到 10 之间。

因此，平均值的置信区间用于估计总体平均值所在的两个值。因此，当所有值都未知时，均值的置信区间对于近似总体均值非常有用。

假设输入变量的过程如下：

$Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$

平均值的置信区间是通过在样本平均值中加上和减去 Z _α/2的值乘以标准差 (σ) 再除以样本大小 (n) 的平方根来计算的。因此，均值置信区间的计算公式为：

$\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$

对于大样本量和 95% 置信水平，临界值为 Z _α/2 = 1.96；对于 99% 置信水平，临界值为 Z _α/2 = 2.576。

当总体方差已知时，使用上述公式。但是，如果总体方差未知（这是最常见的情况），则使用以下公式计算平均值的置信区间：

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

金子：

为了让您了解如何计算总体平均值的置信区间，我们在下面提供了一个逐步解决的示例。

206 203 201 212
194 176 208 201

正如我们在上一节中看到的，当我们不知道总体标准差时，获取总体均值置信区间的公式如下：

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

所以，为了确定均值的置信区间，我们首先要计算样本均值和标准差。

$\begin{array}{c}\mu =200,13 \\[4ex]s=11,13\end{array}$

由于我们想要找到置信水平为 1-α=95% 且样本量为 8 的置信区间，因此我们需要访问 Student t 分布表并查看哪个值对应于 t _0.025|7 。

$1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}t_{\alpha/2| n-1}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]t_{0,025| 7}=2,365\end{array}$

因此，我们应用平均值的置信区间公式并执行计算来找到区间的极限：

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

$\displaystyle \left(200,13-2,365\cdot \frac{11,13}{\sqrt{8}} \ , \ 200,13+2,365\cdot \frac{11,13}{\sqrt{8}} \right)$

$\displaystyle \left(190,82 \ , \ 209,43 \right)$

总之，计算出的置信区间告诉我们，置信水平为 95% 时，总体平均值将在 190.82 到 209.43 之间。

大家好，我是本杰明，一位退休的统计学教授，后来成为 Statorials 的热心教师。凭借在统计领域的丰富经验和专业知识，我渴望分享我的知识，通过 Statorials 增强学生的能力。了解更多