正态二项式近似：定义和示例

如果_ _ _ _ _

• µ = np
• σ = √ np(1-p)

事实证明，如果n足够大，那么我们可以使用正态分布来近似与二项式分布相关的概率。这称为正态二项式近似。

要使n “足够大”，它必须满足以下条件：

• np≥5
• n(1-p)≥5

当两个条件都满足时，我们就可以使用正态分布来回答与二项式分布相关的概率问题。

然而，正态分布是连续概率分布，而二项分布是离散概率分布，因此在计算概率时需要应用连续性校正。

简而言之，连续性校正是从离散 x 值中添加或减去 0.5 的名称。

例如，假设我们想要计算一枚硬币在 100 次抛掷过程中正面朝上的概率小于或等于 45 次。也就是说，我们要找到 P(X ≤ 45)。要使用正态分布来近似二项式分布，我们需要找到 P(X ≤ 45.5)。

下表显示了何时应该添加或减去 0.5，具体取决于您尝试查找的概率类型：

以下分步示例演示如何使用正态分布来近似二项式分布。

示例：二项式的正态近似

假设我们想知道抛掷 100 次硬币，正面朝上的次数少于或等于 43 次的概率。

在这种情况下，我们有以下价值观：

• n （试验次数）= 100
• X （成功次数）= 43
• p （给定试验的成功概率）= 0.50

要计算硬币正面朝上少于或等于 43 次的概率，我们可以使用以下步骤：

步骤 1：验证样本量是否足够大，可以使用正态近似值。

首先，我们需要检查是否满足以下条件：

• np≥5
• n(1-p)≥5

在这种情况下，我们有：

• NP = 100*0.5 = 50
• n(1-p) = 100*(1 – 0.5) = 100*0.5 = 50

两个数字都大于 5，因此我们可以安全地使用正态近似值。

步骤 2：确定要应用的连续性校正。

参考上表，我们发现当处理 X ≤ 43 形式的概率时，我们应该添加 0.5。因此，我们会找到 P(X< 43.5)。

步骤 3：求二项式分布的均值 (μ) 和标准差 (σ)。

µ = n*p = 100*0.5 = 50

σ = √ n*p*(1-p) = √ 100*.5*(1-.5) = √ 25 = 5

步骤 4：使用上一步中找到的平均值和标准差求出 z 分数。

z = (x – μ) / σ = (43.5 – 50) / 5 = -6.5 / 5 = -1.3。

步骤 5：找出与 z 分数相关的概率。

我们可以使用正态 CDF 计算器发现 -1.3 左侧的标准正态曲线下方的面积为0.0968 。

因此，抛掷 100 次硬币，正面朝上的次数少于或等于 43 次的概率为0.0968 。

该示例说明了以下内容：

• 我们遇到过随机变量服从二项式分布的情况。
• 我们想要找到该随机变量获得特定值的概率。
• 由于样本量（n = 100 次试验）足够大，我们能够使用正态分布来近似二项式分布。

这是如何使用正态近似来查找与二项式分布相关的概率的完整示例。