比例差异的置信区间

经过本杰明·安德森博 8月 3, 2023 统计数据 0 条评论

本文解释了统计中比例差异的置信区间是什么以及它的用途。您还将了解如何计算两个比例之差的置信区间以及逐步解决的练习。

比例差异的置信区间是多少？

比例差异的置信区间是提供一系列可接受值的区间，在该范围内两个总体比例之间的差异值符合一定的置信水平。

例如，如果在 95% 置信水平下两个总体比例之间的差异的置信区间为 (0.07, 15)，则这意味着两个总体比例之间的差异将在 7% 到 15% 之间，概率为95%。

因此，在统计学中，比例差异的置信区间用于估计两个值，这两个值之间联系着两个人口比例之间的差异。因此收集了两个样本，并且根据这些数据可以大致评估总体比例之间的差异。

➤请参阅：均值差异的置信区间

比例差异的置信区间公式

置信水平为1-α的比例差的置信区间计算公式如下：

$\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})\pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat{p_1}(1-\widehat{p_1})}{n_1}+\frac{\widehat{p_2}(1-\widehat{p_2})}{n_2}}$

金子：

$\widehat{p_i}$

是样本比例 i。
$n_i$

是样本大小 i。
$Z_{\alpha/2}$

是对应于 α/2 概率的标准正态分布的分位数。对于大样本量和 95% 置信水平，它通常接近 1.96；对于 99% 置信水平，它通常接近 2.576。

➤请参阅：比例的置信区间公式

比例差异置信区间的具体示例

在了解了比例差的置信区间的定义及其公式是什么之后，我们将看到一个具体的例子来说明如何计算比例差的置信区间。

我们想做一个左撇子比例的统计研究，更准确地说，我们想知道男性和女性左撇子比例的差异。为此，抽取了 60 名男性样本和 67 名女性样本，其中 5 名男性和 7 名女性为左撇子。 95% 置信水平下比例差异的置信区间是多少？

首先，我们需要计算每个统计样本中左撇子的比例：

$\widehat{p_1}=\cfrac{5}{60}=0,083$

$\widehat{p_2}=\cfrac{7}{67}=0,104$

正如我们在上一节中看到的，确定比例差异置信区间的公式为：

$\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})\pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat{p_1}(1-\widehat{p_1})}{n_1}+\frac{\widehat{p_2}(1-\widehat{p_2})}{n_2}}$

因此，为了找到比例差异的置信区间，我们需要确定 Z _α /2 的值。为此，我们使用标准正态分布表。

$1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}Z_{\alpha/2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]Z_{0,025}=1,96\end{array}$

最后，我们将数据代入公式并计算比例差异的置信区间：

$\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})\pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat{p_1}(1-\widehat{p_1})}{n_1}+\frac{\widehat{p_2}(1-\widehat{p_2})}{n_2}}$

$\displaystyle (0,083-0,104)\pm 1,96\cdot \sqrt{\frac{0,083\cdot(1-0,083)}{60}+\frac{0,104\cdot(1-0,104)}{67}}$