如何求“至少三个”成功的概率

我们可以使用以下通用公式来求出一系列试验中至少三次成功的概率：

 P(at least 3) = 1 - P(0 successes) - P(1 success) - P(2 successes)

在上面的公式中，我们可以使用以下二项分布公式计算每个概率：

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

金子：

• n：试验次数
• k：成功次数
• p：给定试验的成功概率
• _n C _k ：在n次试验中获得k次成功的方法数

以下示例展示了如何使用此公式来查找不同场景中“至少三个”成功的概率。

示例 1：罚球尝试

泰的罚球命中率为 25%。如果他尝试 5 次罚球，求他至少罚中 3 次的概率。

首先，我们来计算他罚球准确零次、准确一次或两次罚球的概率：

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0.25 ⁰ * (1-0.25) ^5-0 = 1 * 1 * 0.75 ⁵ = 0.2373

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0.25 ¹ * (1-0.25) ^5-1 = 5 * 0.25 * 0.75 ⁴ = 0.3955

P(X=2) = ₅ C ₂ * 0.25 ² * (1-0.25) ^5-2 = 10 * 0.0625 * 0.75 ³ = 0.2636

接下来，我们将这些值代入以下公式，求出 Ty 至少罚球 3 次的概率：

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≥3) = 1 – 0.2373 – 0.3955 – 0.2636
• P(X≥3) = 0.1036

Ty 在五次尝试中至少罚中 3 次的概率是0.1036 。

示例 2：小部件

在某家工厂，所有小部件中有 2% 存在缺陷。在 10 个小部件的随机样本中，确定至少两个有缺陷的概率。

首先，我们来计算恰好 0 个、恰好 1 个或恰好 2 个有缺陷的概率：

P(X=0) = ₁₀ C ₀ * 0.02 ⁰ * (1-0.02) ^10-0 = 1 * 1 * 0.98 ¹⁰ = 0.8171

P(X=1) = ₁₀ C ₁ * 0.02 ¹ * (1-0.02) ^10-1 = 10 * 0.02 * 0.98 ⁹ = 0.1667

P(X=2) = ₁₀ C ₂ * 0.02 ² * (1-0.02) ^10-2 = 45 * 0.0004 * 0.98 ⁸ = 0.0153

接下来，我们将这些值代入以下公式，求出至少三个小部件出现故障的概率：

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≥3) = 1 – 0.8171 – 0.1667 – 0.0153
• P(X≥3) = 0.0009

在这 10 个随机样本中，至少有 3 个小部件有缺陷的概率是0.0009 。

示例 3：琐事问题

鲍勃正确回答了 60% 的琐事问题。如果我们问他 5 个琐事问题，求他至少正确回答 3 个的概率。

首先，我们来计算他正确回答 0、1 或 2 的概率：

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0.60 ⁰ * (1-0.60) ^5-0 = 1 * 1 * 0.40 ⁵ = 0.01024

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0.60 ¹ * (1-0.60) ^5-1 = 5 * 0.60 * 0.40 ⁴ = 0.0768

P(X=2) = ₅ C ₂ * 0.60 ² * (1-0.60) ^5-2 = 10 * 0.36 * 0.40 ³ = 0.2304

接下来，我们将这些值代入以下公式，求出他至少正确回答三个问题的概率：

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≥3) = 1 – 0.01024 – 0.0768 – 0.2304
• P(X≥3) = 0.6826

他正确回答至少五分之三的概率是0.6826 。

奖励：至少三个计算器的概率

使用此计算器可以根据给定试验的成功概率和试验总数自动查找“至少三次”成功的概率。