负二项分布

经过本杰明·安德森博 8月 3, 2023 可能性 0 条评论

本文解释什么是负二项分布及其用途。您还将找到负二项式分布的公式、具体示例以及此类概率分布的属性。最后，您将能够使用在线计算器计算任何负二项分布概率。

什么是负二项分布？

负二项分布是一种概率分布，描述获得给定数量的正结果所需的伯努利试验次数。

因此，负二项式分布具有两个特征参数： r是期望的成功结果的数量， p是执行的每个伯努利实验的成功概率。

$X\sim \text{BN}(r,p)$

请记住，伯努利测试是一种有两种可能结果的实验：“成功”和“失败”。因此，如果“成功”的概率为p ，则“失败”的概率为q=1-p 。

因此，负二项分布定义了一个过程，其中根据需要进行尽可能多的伯努利试验以获得正结果。此外，所有这些伯努利试验都是独立的，并且成功的概率恒定。

例如，服从负二项式分布的随机变量是骰子必须滚动的次数，直到数字 6 滚动 3 次为止。

负二项分布与二项分布的区别在于，负二项分布统计的是获得一定数量成功结果所需的次数，而二项分布统计的是一系列伯努利测试中成功案例的数量。

➤请参阅：什么是二项分布？

负二项分布公式

给定参数r、p、x，负二项分布的概率通过将xr中的x-1的组合数乘以(1-p) ^xr再乘以p ^r来计算。

因此，计算负二项分布概率的公式为：

👉您可以使用下面的计算器来计算变量服从负二项式分布的概率。

负二项分布的求解练习

如果你抛一枚硬币八次，第八次抛硬币第四次出现正面的概率是多少？

首先，我们需要计算抛硬币时正面朝上的概率。在这种情况下，我们在两种可能的结果（正面和反面）中只有一个正面结果（正面），因此成功的概率为：

$p=\cfrac{1}{2}=0,5$

因此，该问题中的随机变量遵循负二项式分布，其中 r=4 且 p=0.5。因此，我们使用负二项分布公式来计算练习要求我们做的概率。

$\begin{aligned}P[X=x]&=\begin{pmatrix}x-1\\ x-r\end{pmatrix}\cdot (1-p)^{x-r}\cdot p^r\\[2ex]\displaystyle P[X=8]&=\begin{pmatrix}8-1\\ 8-4\end{pmatrix}\cdot (1-0,5)^{8-4}\cdot 0,5^4\\[2ex] P[X=8]&=0,1367\end{aligned}$

负二项分布的特征

以下是负二项分布的最重要特征。

负二项式分布由两个特征参数定义： r是期望的成功结果的数量， p是执行的每个伯努利实验的成功概率。

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{array}{c}r\in \mathbb{Z}^+ \\[2ex] 0 <ul><li> The mean of the negative binomial distribution is equal to <em>r</em> multiplied by <em>(1-p)</em> and divided by <em>p</em> . Thus the formula which makes it possible to calculate the mean of a negative binomial distribution is the following: </li></ul>[latex]E[X]=\cfrac{r\cdot (1-p)}{p}

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leading text: ...The mean of the binomial distribution born
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leading text: ...gative is equal to <em>r</em> multiplied
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leading text: ...m> multiplied by <em>(1-p)</em> and divided
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\begin{array} on input line 8 ended by \end{document}.

负二项分布的方差等于r乘以(1-p)除以p ² 。

$Var(X)=\cfrac{r\cdot (1-p)}{p^2}$

如果参数r大于1，则负二项分布的众数可以通过以下公式计算：

$\displaystyle \lfloor \frac{(r-1)(1-p)}{p}\rfloor\quad \text{para }r>1″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”42″ width=”221″ style=”vertical-align: -16px;”></p> </p> <ul> <li>可以确定负二项式分布概率的质量函数如下：</li> </ul> <p class=$ $P[X=x]=\begin{pmatrix}x-1\\ x-r\end{pmatrix}\cdot (1-p)^{x-r}\cdot p^r$