协方差矩阵

本文解释什么是协方差矩阵以及它的公式是什么。您将通过具体示例了解如何创建协方差矩阵以及协方差矩阵的属性。

什么是协方差矩阵？

协方差矩阵是一个方阵，其元素是所研究变量的方差和协方差。因此，协方差矩阵主对角线的元素是每个变量的方差，其余元素是变量之间的协方差。

在统计学中，协方差矩阵用于分析两个或多个随机变量之间的关系。协方差矩阵非常有用，因为它可以让您快速解释许多变量之间的相关性，因为您可以同时看到变量的所有协方差的值。

协方差矩阵的符号是大写希腊字母西格玛（Σ）。

如何计算协方差矩阵

要计算多个统计变量的协方差矩阵，必须执行以下步骤：

1. 计算所有变量的方差。
2. 计算每对变量的协方差。
3. 形成协方差矩阵：
• 变量i的方差必须放置在矩阵的主对角线上，更准确地说是放置在位置i,i上。
• 变量i和j之间的协方差必须放在矩阵的i,j位置。

因此协方差矩阵的公式如下：

协方差矩阵示例

看到协方差矩阵的定义后，下面是一个分步练习，以便您可以了解这种类型的矩阵是如何制作的。

计算变量X、Y和Z的协方差矩阵，其值为：

• X：4、7、12、5、7
• 还有：9、15、19、6、8
• Z：7、2、4、6、3

我们需要做的第一件事是确定所有变量的方差：

其次，我们找到每对变量之间的协方差：

一旦我们计算了所有方差和协方差，剩下的就是制作协方差矩阵。为此，我们将方差值放在矩阵的主对角线上，将协方差值放在其相应的位置：

正如您所看到的，通过在矩阵中表示方差和协方差，可以很容易地解释变量。离差最大的变量是 Y (23.44)，另一方面，变量 X 和 Y 具有正相关关系，而变量 X 和 Z（因此 Y 和 Z）具有反相关关系。

请注意，协方差矩阵始终是对称的，因为两个变量之间的协方差不取决于变量的顺序。例如，

等于

此外，协方差矩阵始终是方阵，其维度将等于变量的数量。在本例中，我们有三个变量，这就是为什么它是 3×3 矩阵，但如果我们只有两个变量，协方差矩阵将为 2×2。

协方差矩阵的属性

协方差矩阵具有以下特点：

• 协方差矩阵是变量数量阶的方阵。
• 协方差矩阵是对称的，这意味着矩阵的主对角线是对称轴。
• 协方差矩阵始终是半正定的。
• 协方差矩阵的行列式等于或大于零。