不对称系数

经过本杰明·安德森博 8月 5, 2023 统计数据 0 条评论

本文解释了不对称系数是什么、它是如何计算的以及如何解释它。具体来说，您将了解如何计算统计学中最常用的三种不对称系数。

什么是不对称系数？

在统计学中，不对称系数是一个可以计算分布不对称性的系数。也就是说，偏度系数用于确定函数是正偏、负偏还是对称。

不对称系数也可称为不对称指数。

请记住，分布的偏度取决于曲线的形状。因此，不同类型的不对称是：

正偏度：分布在均值右侧比在左侧有更多不同值。
负偏度：分布在均值左侧的不同值多于在其右侧的值。
对称性：分布在均值左侧和右侧具有相同数量的值。

根据情况主要使用三种类型的不对称系数：Fisher系数、Pearson系数和Bowley系数。下面详细解释如何计算每种类型的偏度系数。

Fisher 不对称系数

Fisher 偏度系数等于平均值的三阶矩除以样本标准差。因此， Fisher不对称系数的计算公式为：

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

等效地，可以使用以下两个公式中的任意一个来计算Fisher系数：

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}$

金子

$E$

是数学期望，

$\mu$

算术平均值，

$\sigma$

标准差和

$N$

数据总数。

另一方面，如果数据已分组，则可以使用以下公式：

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}$

在这种情况下哪里

$x_i$

它是阶级的标志

$f_i$

课程的绝对频率。

一旦计算出其值，费雪不对称系数的解释如下：

如果 Fisher 偏度系数为正，则分布呈正偏态。
如果费舍尔偏度系数为负，则分布呈负偏态。
如果分布是对称的，则费舍尔不对称系数为零。反之则不然，这意味着费舍尔系数为零这一事实并不总是意味着分布是对称的。

皮尔逊不对称系数

皮尔逊偏度系数等于样本均值与众数之差除以其标准差（或标准差）。因此，皮尔逊不对称系数的公式如下：

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

金子

$A_p$

是皮尔逊系数，

$\mu$

算术平均值，

$Mo$

时尚和

$\sigma$

标准差。

请记住，只有在单峰分布（即数据中只有一种众数）的情况下，才能计算皮尔逊偏度系数。

在一些统计书籍中，皮尔逊偏度系数是使用中位数而不是众数来计算的，但一般都使用上面的公式。

计算出皮尔逊不对称系数后，必须根据以下规则解释其值：

如果皮尔逊偏度系数为正，则意味着分布呈正偏态。
如果皮尔逊偏度系数为负，则意味着分布呈负偏态。
如果皮尔逊偏度系数为零，则意味着分布是对称的。

鲍利不对称系数

鲍利偏度系数等于第三个四分位数加上第一个四分位数之和减去中位数的两倍除以第三个四分位数和第一个四分位数之间的差。因此，该不对称系数的公式如下：

$A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}$

金子

$Q_1$

和

$Q_3$

这些分别是第一和第三四分位数

$Me$

是分布的中位数。

回想一下，分布的中位数与第二个四分位数一致。

➤请参阅：如何查找四分位数

鲍利系数的解释方式与前两种类型的不对称系数相同：

如果鲍利偏度系数为正，则分布呈正偏态。
如果鲍利偏度系数为负，则分布呈负偏态。
如果鲍利偏度系数为零，则分布是对称的。

关于作者

本杰明·安德森博

大家好，我是本杰明，一位退休的统计学教授，后来成为 Statorials 的热心教师。凭借在统计领域的丰富经验和专业知识，我渴望分享我的知识，通过 Statorials 增强学生的能力。了解更多