全概率定律：定义和示例

在概率论中，当我们不直接知道A的概率但我们知道事件B ₁ 、 B ₂ 、 B ₃ … 形成一个分区时，总概率定律是求出事件 A 的概率的有用方法。样本空间S。

该法规定了以下内容：

全概率定律

如果B ₁ , B ₂ , B ₃ … 构成样本空间S的一个分区，那么我们可以计算事件A的概率如下：

P( A ) = ΣP( A | Bi ₎ *P( B _i )

理解这条定律最简单的方法就是举一个简单的例子。

假设一个盒子里有两个袋子，里面装有以下弹珠：

• 第 1 袋： 7 个红色弹珠和 3 个绿色弹珠
• 第 2 袋： 2 个红色弹珠和 8 个绿色弹珠

如果我们随机选择一个袋子，然后从该袋子中随机选择一个弹珠，它是绿色弹珠的概率是多少？

在此示例中，令 P( G ) = 选择绿色弹珠的概率。我们感兴趣的是概率，但我们无法直接计算它。

相反，我们需要使用G的条件概率，给定某个事件B ，其中B _i形成样本空间S的分区。在本例中，我们有以下条件概率：

• P(G| _B1 ) = 3/10 = 0.3
• P(G| _B2 ) = 8/10 = 0.8

因此，利用全概率定律，我们可以计算出选择绿色大理石的概率如下：

• P(G) = ΣP(G|B _i )*P(B _i )
• P(G) = P(G|B ₁ )*P(B ₁ ) + P(G|B ₂ )*P(B ₂ )
• P(G) = (0.3)*(0.5) + (0.8)*(0.5)
• P(G) = 0.55

如果我们随机选择其中一个袋子，然后从该袋子中随机选择一颗弹珠，那么我们选择绿色弹珠的概率为0.55 。

阅读以下两个示例以巩固您对全概率定律的理解。

示例 1：小部件

A 公司 80% 的小部件供应给一家汽车修理厂，但只有 1% 的小部件被证明是有缺陷的。 B公司向汽车修理厂供应剩余20%的小部件，其中3%的小部件被证明是有缺陷的。

如果顾客随机从汽车修理店购买一个小部件，它有缺陷的概率是多少？

如果我们让 P( D ) = 一个小部件有缺陷的概率， P(B _i ) 是该小部件来自其中一家公司的概率，那么我们可以计算出购买有缺陷的小部件的概率如下：

• P(D) = ΣP(D|B _i )*P(B _i )
• P(D) = P(D|B ₁ )*P(B ₁ ) + P(D|B ₂ )*P(B ₂ )
• P(D) = (0.01)*(0.80) + (0.03)*(0.20)
• P(D) = 0.014

如果我们从这家汽车商店随机购买一个小部件，它有缺陷的概率是0.014 。

示例 2：森林

森林A占某公园总面积的50%，这片森林中20%的植物是有毒的。 B森林占总面积的30%，其中40%的植物有毒。森林C占据了剩余20%的领土，那里发现的70%的植物有毒。

如果我们随机走进这个公园并从地上摘下一株植物，它有毒的可能性有多大？

如果我们令 P( P ) = 植物有毒的概率， P(B _i )为我们进入三个森林之一的概率，那么我们可以计算随机选择的植物有毒的概率，如下所示：

• P(P) = ΣP(P|B _i )*P(B _i )
• P(P) = P(P|B ₁ )*P(B ₁ ) + P(P|B ₂ )*P(B ₂ ) + P(P|B ₃ )*P(B ₃ )
• P(P) = (0.20)*(0.50) + (0.40)*(0.30) + (0.70)*(0.20)
• P(P) = 0.36

如果我们从地上随机选择一种植物，它有毒的概率是0.36 。

其他资源

以下教程提供有关概率主题的附加信息：

如何找到概率分布的平均值
如何找到概率分布的标准差
概率分布计算器