总概率定理

本文解释什么是全概率定理以及它在概率和统计中的用途。因此，您将找到全概率定理的公式、已解决的练习以及何时使用全概率定理。

什么是全概率定理？

在概率论中，全概率定理是一种定律，它使得可以根据样本空间中所有事件的条件概率来计算不属于样本空间的事件的概率。

因此，总概率定理用于根据有关特定事件的部分信息来计算该事件的概率。有时我们无法通过直接应用拉普拉斯规则来确定事件的概率，因为我们没有所有必要的信息。但是，如果我们知道该事件相对于其他事件的数据，则总概率定理通常很有用。

简而言之，当我们想要计算一个事件的概率但只在某些条件下有关于它的信息时，就使用总概率定理。例如，该定理的一些应用涉及多个案例的实验、排队论和生存分析。

全概率定理的公式

总概率定理表示，给定一组事件{A ₁ , A ₂ ,…, A _n }，它们在样本空间上形成一个分区，事件 B 的概率等于每个事件的概率的乘积之和。事件 P(A _i ) 由条件概率 P(B|A _i ) 决定。

因此，全概率定理的公式为：

金子：

• 

  是事件 B 发生的概率。

• 

  是给定事件 A _i时事件 B 的条件概率。

• 

  是事件 A _i发生的概率。

请记住，在概率中，样本空间的分区被定义为一组相互不兼容的事件，其并集形成样本空间。

全概率定理的具体例子

在了解了全概率定理的定义及其公式之后，我们将看到一个关于如何使用全概率定理计算概率的已解决练习，以更好地理解其含义。

• 一家电子商店销售三种品牌的电视：X、Y、Z。据估计，品牌电视占销售额的 20%，次品品牌电视占销售额的 %，Z 品牌电视占销售额的 4%。电视有缺陷。购买有缺陷电视的可能性有多大？

问题陈述为我们提供了客户购买每个品牌电视的概率：

• 事件 A ₁ ：顾客购买_某个品牌的电视
• 事件 A ₂ ：顾客购买品牌 Y 的电视 → P(A ₂ )=0.50
• 事件 A ₃ ：顾客购买电视品牌 Z → P(A ₃ )=0.30

此外，练习语句还为我们提供了每个品牌的电视有缺陷的概率：

事件B：电视故障

• B|A ₁ ：给定一台品牌 X 电视，该电视有缺陷 → P(B|A ₁ )=0.05
• B|A ₂ ：给定一个品牌的电视 Y，该电视有缺陷 → P(B|A ₂ )=0.03
• B|A ₃ ：给定一台 Z 品牌电视，该电视有缺陷 → P(B|A ₃ )=0.04

因此，问题的概率树如下：

因此，要计算购买有缺陷电视的概率，我们需要使用总概率规则的公式：

在我们的例子中，样本空间由三个事件（A ₁ 、A ₂和 A ₃ ）组成，因此总概率定理的公式如下：

因此，用前面的表达式的概率来计算购买有缺陷电视的概率就足够了：

总之，我们购买的电视有缺陷的概率为 3.7%。

全概率定理和贝叶斯定理

总概率定理和贝叶斯定理是概率论中的两个重要定理，特别是因为它们允许我们根据条件概率值计算概率。

贝叶斯定理是概率论定律，用于在已知有关事件的先验信息时计算该事件的概率。

具体来说，全概率定理和贝叶斯定理是相关的，实际上贝叶斯定理公式的分母就等价于全概率定理公式。

单击以下链接查看贝叶斯定理是什么及其应用示例：