对比统计

经过本杰明·安德森博 8月 3, 2023 统计数据 0 条评论

本文解释了什么是对比度统计量、对比度统计量最常见的公式是什么，以及对比度统计量、拒绝区域和接受区域之间的关系。

什么是对比度统计量？

对比统计量是具有与研究假设相关的已知概率分布的变量。具体来说，对比统计量用于假设检验以拒绝或接受原假设。

事实上，是否拒绝假设检验的原假设取决于检验统计量的值。如果检验统计量的值落在拒绝区域内，则拒绝原假设。而如果检验统计量的值落在接受区域内，则接受原假设。

➤请参阅：假设检验（统计）

对比统计公式

根据假设检验的类型，检验统计量的分布有所不同。因此，检验统计量的公式也取决于假设检验的类型。接下来我们将了解如何根据假设检验的类型计算检验统计量。

平均值对比统计

已知方差的均值的假设检验统计量的公式为：

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

金子：

$Z$

是平均值的假设检验统计量。
$\overline{x}$

是样本均值。
$\mu$

是建议的平均值。
$\sigma$

是总体标准差。
$n$

是样本大小。

计算平均值的假设对比统计量后，应将结果解释为拒绝或拒绝原假设：

如果均值的假设检验是双向的，则当统计量的绝对值大于临界值 Z _α/2时，将拒绝原假设。
如果均值的假设检验与右尾匹配，且统计量大于临界值 Z _α ，则拒绝原假设。
如果均值的假设检验与左尾匹配，且统计量小于临界值 -Z _α ，则拒绝原假设。

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

在这种情况下，临界值是从标准化正态分布表中获得的。

另一方面，方差未知的均值的假设检验统计量的公式为：

$\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}$

金子：

$t$

是平均值的假设检验统计量，由学生 t 分布定义。
$\overline{x}$

是样本均值。
$\mu$

是建议的平均值。
$s$

是样本标准差。
$n$

是样本大小。

和以前一样，对比统计量的计算结果必须用临界值来解释，以拒绝或不拒绝原假设：

如果均值的假设检验是双向的，并且统计量的绝对值大于临界值 t _α/2|n-1 ，则拒绝原假设。
如果均值的假设检验与右尾匹配，且统计量大于临界值 t _{α|n-1 ，}则拒绝原假设。
如果均值的假设检验与左尾匹配，且统计量小于临界值 -t _{α|n-1 ，}则拒绝原假设。

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

当方差未知时，从Student分布表中获得临界测试值。

➤请参阅：均值的假设检验

比例对比统计

比例假设检验统计量的公式为：

$\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

金子：

$Z$

是该比例的假设检验统计量。
$\widehat{p}$

是样本比例。
$p$

是建议的比例值。
$n$

是样本大小。
$\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

是比例的标准差。

请记住，计算比例的假设检验统计量是不够的，但必须解释结果：

如果该比例的假设检验是双向的，则当统计量的绝对值大于临界值 Z _α/2时，将拒绝原假设。
如果该比例的假设检验与右尾匹配，且统计量大于临界值 Z _α ，则拒绝原假设。
如果比例的假设检验与左尾匹配，且统计量小于临界值 -Z _α ，则拒绝原假设。

$\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

请记住，可以从标准正态分布表中轻松获得临界值。

➤请参阅：比例假设检验

方差对比统计量

方差假设检验统计量的计算公式为：

$\chi^2=\cfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$

金子：

$\chi^2$

是方差的假设检验统计量，具有卡方分布。
$n$

是样本大小。
$s^2$

是样本方差。
$\sigma^2$

是建议总体的方差。

为了解释统计结果，必须将获得的值与测试的临界值进行比较。

如果方差假设检验是双尾的，则当统计量大于临界值时，将拒绝原假设。
$\chi_{1-\alpha/2|n-1}^2$

或者如果临界值小于

$\chi_{\alpha/2|n-1}$

。
如果方差的假设检验与右尾匹配，且统计量大于临界值，则拒绝原假设
$\chi_{1-\alpha|n-1}^2$

。
如果方差假设检验与左尾匹配，且统计量小于临界值，则拒绝原假设
$\chi_{\alpha|n-1}$

。

$\begin{array}{l}H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si }\chi^2<\chi^2_{\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0 \\[3ex]H_1: \sigma^2> \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2< \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2<\chi^2_{\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}$

方差的临界假设检验值是从卡方分布表中获得的。请注意，卡方分布的自由度是样本大小减 1。

➤请参阅：方差假设检验

对比统计量、拒绝区域和接受区域

在假设检验中，拒绝区域是检验统计量分布图的区域，意味着拒绝原假设（并接受备择假设）。另一方面，接受区域是检验统计量的分布图的区域，意味着接受原假设（并拒绝备择假设）。

因此，对比统计量的值通过以下方式确定假设检验的结果：

如果检验统计量落入拒绝域内，则拒绝原假设并接受备择假设。
如果检验统计量落在接受区域内，则接受原假设并拒绝备择假设。

将拒绝区域与接受区域分开的值称为临界值。因此，我们需要计算临界值来知道拒绝区域和接受区域的边界，从而知道何时拒绝和何时接受原假设。

➤请参阅：临界值

关于作者

本杰明·安德森博

大家好，我是本杰明，一位退休的统计学教授，后来成为 Statorials 的热心教师。凭借在统计领域的丰富经验和专业知识，我渴望分享我的知识，通过 Statorials 增强学生的能力。了解更多