均值的假设检验

经过本杰明·安德森博 8月 3, 2023 统计数据 0 条评论

本文解释了统计学中均值的假设检验是什么。因此，您将找到平均值的假设检验公式，此外还有逐步解决的练习。

什么是均值假设检验？

均值的假设检验是一种统计方法，用于拒绝或拒绝总体均值的原假设。

更具体地说，均值的假设检验涉及计算检验统计量并将其与临界值进行比较以拒绝零假设。

应该注意的是，假设检验有不同的名称；在统计学中，它们也称为假设对比、假设检验或显着性检验。

平均值的假设检验公式

接下来我们将了解如何计算均值的假设检验统计量。然而，根据方差是否已知，该公式会略有不同，因此我们将首先看看当方差已知时，然后当方差未知时，它是如何完成的。

已知偏差

已知方差的均值的检验假设公式为：

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

金子：

$Z$

是平均值的假设检验统计量。
$\overline{x}$

是样本均值。
$\mu$

是建议的平均值。
$\sigma$

是总体标准差。
$n$

是样本大小。

计算平均值的假设检验统计量后，应将结果解释为拒绝或拒绝原假设：

如果均值的假设检验是双向的，则当统计量的绝对值大于临界值 Z _α/2时，将拒绝原假设。
如果均值的假设检验与右尾匹配，且统计量大于临界值 Z _α ，则拒绝原假设。
如果均值的假设检验与左尾匹配，且统计量小于临界值 -Z _α ，则拒绝原假设。

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

在这种情况下，临界值是从标准化正态分布表中获得的。

方差未知

方差未知的均值的检验假设公式为：

$\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}$

金子：

$t$

是均值的假设检验统计量，由学生 t 分布定义。
$\overline{x}$

是样本均值。
$\mu$

是建议的平均值。
$s$

是样本标准差。
$n$

是样本大小。

和以前一样，检验统计量的计算结果必须用临界值来解释，以拒绝或不拒绝原假设：

如果均值的假设检验是双向的，并且统计量的绝对值大于临界值 t _α/2|n-1 ，则拒绝原假设。
如果均值的假设检验与右尾匹配，且统计量大于临界值 t _{α|n-1 ，}则拒绝原假设。
如果均值的假设检验与左尾匹配，且统计量小于临界值 -t _{α|n-1 ，}则拒绝原假设。

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

当方差未知时，从Student分布表中获得临界测试值。

均值假设检验的现实示例

要充分理解总体均值假设检验的概念，您可以在下面查看此类假设检验的现实示例。

一家科技公司声称，其销售的笔记本电脑电池可持续使用 6 小时。我们通过执行显着性水平 α = 0.05 的假设检验来检查该假设是否错误。为此，决定购买 20 台并观察每台计算机的电池寿命（值以小时表示）：

5.2 5.9 7.1 4.2 6.5
8.5 4.6 6.8 6.9 5.8
5.1 6.5 7.0 5.3 6.2
5.7 6.6 7.5 5.1 6.1

在这种情况下，关于均值的假设检验的原假设和备择假设如下：

$\begin{cases}H_0: \mu=6\\[2ex] H_1:\mu\neq 6 \end{cases}$

为了确定检验统计量，我们首先需要计算样本均值和样本标准差：

$\overline{x}=6,13 \qquad s=1,05$

由于我们不知道总体方差，为了获得检验统计量，我们需要对方差未知的均值应用假设检验公式：

$\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}$

$\displaystyle t=\frac{6,13-6}{\displaystyle \frac{1,05}{\sqrt{20}}}$

$\displaystyle t=0,68$

现在我们需要找到假设检验的临界值，因此我们在学生 t 分布表中查找相应的值。 Student t 的自由度比样本量小 1 (20-1=19)，另一方面，由于它是双边的，因此相应的概率是显着性水平的一半 (0.05/2= 0.025)假设检验。

$\alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}t_{\alpha/2| n-1}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]t_{0,025| 19}=2,093\end{array}$

总之，由于这是双向假设检验，且检验统计量的绝对值小于临界值，因此不拒绝原假设，但拒绝备择假设。

$0,68<2,093 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Se rechaza } H_1$

均值差异的假设检验

均值差异假设检验用于拒绝或接受两个总体均值相同的原假设。

因此，两个均值差异的假设检验的原假设始终如下：

$H_0: \mu_1=\mu_2$

而备择假设可以是以下三种之一：

$\begin{array}{l}H_1:\mu_1\neq \mu_2\\[2ex]H_1:\mu_1>\mu_2\\[2ex]H_1:\mu_1<\mu_2\end{array}$

那么，当方差已知时，计算均值差异的假设检验统计量的公式为：

$\displaystyle Z=\frac{\displaystyle \overline{x_1}-\overline{x_2}}{\displaystyle\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$

金子：

$Z$

是已知方差的两个均值之差的假设检验统计量，遵循标准正态分布。
$\overline{x_1}$

是样本 1 的平均值。
$\overline{x_2}$

是样本 2 的平均值。
$\sigma_1^2$

是总体 1 的方差。
$\sigma_2^2$

是总体 2 的方差。
$n_1$

是样本量 1。
$n_2$

是样本量 2。

另一方面，当方差未知时，均值差的假设检验统计量的计算公式如下：

$\displaystyle t=\frac{\displaystyle \overline{x_1}-\overline{x_2}}{\displaystyle\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$