正态分布

正态分布是统计学中最常见的概率分布。

正态分布具有以下特征：

• 钟形
• 对称
• 平均值和中位数相等；两者都位于分布的中心
• 大约 68% 的数据落在平均值的一个标准差范围内
• 大约 95% 的数据落在平均值的两个标准差之内。
• 大约 99.7% 的数据落在平均值的三个标准差范围内。

最后三点被称为经验法则，有时也称为68-95-99.7 法则。

相关：经验法则（实践问题）

如何绘制正态曲线

要绘制正态曲线，我们需要知道平均值和标准差。

示例 1：假设某所学校的男生身高服从正态分布，平均值为$\mu =\; 70\; 英寸，$标准差为$\sigma \; =\; 2\; 英寸。绘制法线曲线。$

步骤一：画一条法线。

步骤2：70英寸的平均值在中间。

步骤 3：每个标准偏差对应 2 英寸的距离。

示例 2：假设某种水獭的重量服从正态分布，平均值为$\mu =\; 30\; 磅，$标准差为$\sigma \; =\; 5\; 磅。绘制法线曲线。$

步骤一：画一条法线。

第 2 步： 30 磅的平均值落在中间。

步骤 3：每个标准差对应 5 磅的距离

如何使用正态分布求百分比

经验法则（有时称为68-95-99.7 规则）指出，对于正态分布的随机变量，68% 的数据落在与平均值相差一个标准差的范围内，95% 落在与平均值相差两个标准差的范围内与平均值的偏差 99.7% 在平均值的三个标准差以内。

使用这个规则我们可以回答有关百分比的问题。

示例：假设某所学校的男生身高呈正态分布，平均值为$\mu =\; 70\; 英寸，$标准差为$\sigma \; =\; 2\; 英寸。$

$这所学校的男生身高超过\; 74\; 英寸的比例大约是多少？$

解决方案：

步骤 1：绘制平均值为$\mu =\; 70\; 英寸、$标准差为$\sigma \; =\; 2\; 英寸的正态分布。$

第 2 步： 74 英寸的高度比平均值高出两个标准差。将高于该点的百分比添加到正态分布中。

2.35% + 0.15% = 2.5%

这所学校大约2.5%的男生身高超过 74 英寸。

$这所学校的男生身高在\; 68\; 英寸到\; 72\; 英寸之间的比例大约是多少？$

解决方案：

步骤 1：绘制平均值为$\mu =\; 70\; 英寸、$标准差为$\sigma \; =\; 2\; 英寸的正态分布。$

第 2 步： 68 英寸和 72 英寸的高度分别比平均值低一个标准差和比平均值高一个标准差。只需将正态分布中这两点之间的百分比相加即可。

34% + 34% = 68%

这所学校大约68%的男生身高在 68 英寸到 72 英寸之间。

如何使用正态分布查找计数

我们还可以使用经验法则来回答有关计数的问题。

示例：假设某种水獭的重量服从正态分布，平均值为$\mu =\; 30\; 磅，$标准差为$\sigma \; =\; 5\; 磅。$

某个群体有 200 只这样的水獭。这些水獭中大约有多少重量超过 35 磅？

解决方案：

步骤 1：绘制平均值为$\mu =\; 30\; 磅、$标准差为$\sigma \; =\; 5\; 磅$的正态分布。

第 2 步： 35 磅的重量比平均值高一个标准差。将高于该点的百分比添加到正态分布中。

13.5% + 2.35% + 0.15% = 16%

步骤 3：由于群体中有 200 只水獭，200 只的 16% = 0.16 * 200 = 32

这个群体中约有 32 只水獭体重超过 35 磅。

这个群体中大约有多少只水獭体重低于 30 磅？

我们可以认识到正态分布的中位数等于均值，在本例中为 30 磅，而不是遵循我们上面刚刚执行的所有步骤。

这意味着一半的水獭体重超过30磅，另一半的体重低于30磅。这意味着 200 只水獭中有 50% 的体重小于 30 磅，因此 0.5 * 200 = 100 只水獭。

其他资源

以下教程提供有关正态分布的其他信息：

正态分布的 6 个具体例子
正态分布与 t 分布：差异
如何在 Excel 中创建钟形曲线
如何用 Python 创建钟形曲线