什么是误差传播？ （定义&；示例）
当您测量一些具有不确定性δa 、 δb 、 δc … 的量a 、 b 、 c …… 然后想要使用a 、 b 、 c等的测量值计算另一个量Q时，就会发生误差传播。
事实证明，不确定性 δ a 、 δ b 、 δc将传播（即“扩散”）直至Q的不确定性。
为了计算Q的不确定性（表示为 δ Q ） ，我们可以使用以下公式。
注意：对于下面的每个公式，假设量a 、 b 、 c等。包含随机和不相关的错误。
加法或减法
如果Q = a + b + … + c – (x + y + … + z)
那么 δ Q = √ (δa) 2 + (δb) 2 + … + (δc) 2 + (δx) 2 + (δy) 2 + … + (δz) 2
示例：假设您测量一个人从地面到腰部的长度为 40 英寸 ± 0.18 英寸。然后测量一个人从腰部到头顶的长度，结果为 30 英寸 ± 0.06 英寸。
假设您随后使用这两个测量值来计算该人的总身高。高度计算如下：40 英寸 + 30 英寸 = 70英寸。该估计的不确定性计算如下：
- δ Q = √ (δa) 2 + (δb) 2 + … + (δc) 2 + (δx) 2 + (δy) 2 + … + (δz) 2
- δ Q = √ (.18) 2 + (.06) 2
- δQ = 0.1897
最终测量结果为70 ± 0.1897英寸。
乘法或除法
如果Q = (ab…c) / (xy…z)
那么δQ = |Q| * √ (δa/a) 2 + (δb/b) 2 + … + (δc/c) 2 + (δx/x) 2 + (δy/y) 2 + … + (δz/z) 2
示例：假设您要测量元素a的长度与元素b的长度之比。您测量a的长度为 20 英寸± 0.34 英寸， b的长度为 15 英寸 ± 0.21 英寸。
定义为Q = a/b的比率计算如下： 20/15 = 1.333 。该估计的不确定性计算如下：
- δQ = |Q| * √ (δa/a) 2 + (δb/b) 2 + … + (δc/c) 2 + (δx/x) 2 + (δy/y) 2 + … + (δz/z) 2
- δQ = |1.333| * √ (.34/20) 2 + (.21/15) 2
- δQ = 0.0294
最终的比率为1.333 ± 0.0294英寸。
测量数量乘以实际数量
如果A准确已知且Q = A x
那么 δ Q = |A|δx
示例：假设您测量圆的直径为 5 米 ± 0.3 米。然后使用该值计算圆的周长c = πd 。
周长计算公式为c = πd = π*5 = 15.708 。该估计的不确定性计算如下：
- δQ = |A|δx
- δ Q = | π | * 0.3
- δQ = 0.942
所以圆的周长是15.708 ± 0.942米。
功率的不确定性
如果n是一个精确数且Q = x n
那么 δ Q = |问| * | n | * (δx /x )
示例：假设您测量立方体的边长为s = 2 英寸± 0.02 英寸。然后使用该值计算立方体的体积v = s 3 。
体积计算如下： v = s 3 = 2 3 = 8 英寸3 。该估计的不确定性计算如下：
- δ Q = |问| * | n | * (δx /x )
- δQ = |8| * |3| * (.02/2)
- δQ = 0.24
所以立方体的体积是8 ± 0.24 英寸。 3 .
一般误差传播公式
如果Q = Q(x)是x的函数，则一般误差传播公式可以定义如下：
δQ = |dQ / dX |δx
请注意，您很少需要从头开始推导这些公式，但了解用于推导它们的通用公式会很有帮助。
关于作者
本杰明·安德森博
大家好，我是本杰明，一位退休的统计学教授，后来成为 Statorials 的热心教师。 凭借在统计领域的丰富经验和专业知识，我渴望分享我的知识，通过 Statorials 增强学生的能力。了解更多