统计学中的 10% 条件：定义和示例

伯努利试验是一种只有两种可能结果的实验——“成功”或“失败”——并且每次进行实验的成功概率都是相同的。

伯努利文章的一个例子是抛硬币。硬币只能落在两个正面（我们可以将正面称为“命中”，反面称为“失败”），并且假设硬币是公平的，每次翻转成功的概率为 0.5。

通常在统计学中，当我们想要计算涉及多个伯努利试验的概率时，我们使用正态分布作为近似值。然而，要做到这一点，我们必须假设试验是独立的。

在试验并非真正独立的情况下，如果我们使用的样本量不超过总体规模的 10%，我们始终可以假设它们是独立的。这称为10% 条件。

10%条件：只要样本量小于或等于总体大小的10%，我们就可以始终假设伯努利检验是独立的。

10% 条件背后的直觉

要培养 10% 条件背后的直觉，请考虑以下示例。

假设某个班级中喜欢足球而不是篮球的学生的真实比例是 50%。令随机变量X为在 4 次试验中随机选择的更喜欢足球而不是篮球的学生人数。假设我们想要了解 4 名随机选择的学生更喜欢足球而不是篮球的概率。

如果我们的班级规模为 20 名学生，并且我们的试验是独立的（例如，我们可以对所有 20 名学生进行重复样本），那么每个学生比篮球更喜欢足球的概率可以计算如下：

P(4 个学生更喜欢足球) = 10/20 * 10/20 * 10/20 * 10/20 = .0625 。

然而，如果我们的试验不是独立的（例如，一旦我们对一个学生进行抽样，他们就无法返回课堂），那么所有 4 个学生都喜欢足球的概率将计算如下：

P(4 个学生更喜欢足球) = 10/20 * 9/19 * 8/18 * 7/17 = .0433 。

这两个概率是非常不同的。考虑到在此示例中，我们的样本量（4 名学生）不小于或等于总体（20 名学生）的 10%，因此我们将无法使用 10% 条件。

然而，请考虑下表，该表显示了根据班级规模随机选择的 4 名学生更喜欢足球的概率：

随着样本大小相对于总体大小（例如本例中的“班级大小”）的减小，独立试验和非独立试验之间计算的概率变得越来越接近。

请注意，当样本量恰好为总体大小的 10% 时，独立试验和非独立试验的概率差异相对相似。

当样本量远小于总体规模的10%时（例如表最后一行中仅为总体规模的0.4%），独立试验和非独立试验之间的概率极其接近。

结论

10% 条件规定我们的样本量必须小于或等于总体大小的 10%，才能安全地假设一组伯努利试验是独立的。

当然，我们的样本量最好远低于总体规模的 10%，以便我们对总体的推论尽可能准确。例如，我们希望样本量仅为总体的 5%，而不是 10%。

其他资源

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