帕累托分布

经过本杰明·安德森博 8月 3, 2023 可能性 0 条评论

本文解释了统计学中的帕累托分布及其用途。您还可以看到帕累托分布图和此类概率分布的属性。

什么是帕累托分布？

帕累托分布是统计学中用于对帕累托原理建模的连续概率分布。因此，帕累托分布是一种概率分布，其中少数值的出现概率远高于其余值。

请记住，帕累托定律，也称为 80-20 规则，是一种统计原理，它指出一种现象的大部分原因是由一小部分人口造成的。

Pareto分布有两个特征参数：尺度参数x _m和形状参数α。

$X\sim \text{Pareto}(\alpha,x_m)$

帕累托分布最初是用来描述人口内部财富的分配的，因为大部分财富是由一小部分人口造成的。但目前帕累托分布有很多应用，例如在质量控制、经济学、科学、社会领域等。

帕累托分布以制定该分布的经济学家维尔弗雷多·帕累托 (Vilfredo Pareto) 命名。然而，他最出名的是帕累托图。

➤请参阅：什么是帕累托图？

帕累托分布表

现在我们知道了帕累托分布的定义，让我们看一下以图形方式表示的帕累托分布的几个示例。

因此，您可以在下面看到帕累托分布的密度函数图根据其特征值的样子：

请注意，帕累托分布的域从 x _m值到 +∞，这就是为什么在 x _m值之前不存在密度函数的原因。

另一方面，帕累托分布的累积概率函数图如下：

帕累托分布的特征

以下是与概率论和统计学相关的帕累托分布的最重要特征。

帕累托分布有两个定义其曲线的特征参数：尺度参数 x _m和形状参数 α。

$X\sim \text{Pareto}(\alpha,x_m)$

帕累托分布的域由从尺度参数到正无穷大的所有实数组成。

$x\in [x_m,+\infty)$

如果 α 大于 1，则帕累托分布的均值等于 α 乘以 x _m与 α 减 1 的乘积。

$E[X]=\cfrac{\alpha\cdot x_m}{\alpha-1}\quad\text{para } \alpha>1″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”34″ width=”214″ style=”vertical-align: -12px;”> <ul> <li>帕累托分布的方差取决于分布的两个特征参数，并通过以下公式计算：</li> </ul> 2″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”44″ width=”323″ style=”vertical-align: -17px;”> <ul> <li>帕累托分布的中位数可以用以下表达式确定：</li> </ul> <p class=$ $\displaystyle Me=x_\mathrm{m}\cdot \sqrt[\alpha]{2}$

Pareto 分布的众数相当于分布的尺度参数 x _m 。

$Mo=x_m$

帕累托分布的密度函数的公式为：

$\displaystyle P[X=x]=\frac{\alpha\cdot x_m^\alpha}{x^{\alpha+1}}\quad\text{para }x\geq x_m$

类似地，帕累托分布的累积概率函数的公式为：

$\displaystyle P[X\leq x]=1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^\alpha$

Pareto分布的不对称系数仅取决于形状参数α，其表达式为：

$\displaystyle A=\frac{2(1+\alpha)}{\alpha-3}\,\sqrt{\frac{\alpha-2}{\alpha}}\quad\text{para }\alpha>3″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”43″ width=”274″ style=”vertical-align: -14px;”> <ul> <li>帕累托分布的峰度系数也会根据参数 α 的值而变化，并使用以下公式计算：</li> </ul> 4″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”44″ width=”299″ style=”vertical-align: -17px;”> </div>  <div class=$