如何手动执行双向方差分析

双向方差分析用于确定已分成两个因素的三个或更多独立组的平均值之间是否存在统计显着差异。

本教程说明如何手动执行双向方差分析。

示例：手动双向方差分析

假设植物学家想知道植物生长是否受到阳光照射和浇水频率的影响。她种下了 40 颗种子，让它们在不同的阳光照射和浇水频率条件下生长一个月。

一个月后，她记录了每株植物的高度。结果如下所示：

在上表中，我们看到每种条件组合下都生长了五株植物。

例如，每天浇水且没有阳光的情况下种植五株植物，两个月后它们的高度分别为 4.8 英寸、4.4 英寸、3.2 英寸、3.9 英寸和 4.4 英寸：

我们可以使用以下步骤来执行双向方差分析：

步骤 1：计算第一个因子（浇水频率）的平方和

首先，我们计算 40 株植物的总体平均高度：

总体平均值 = (4.8 + 5 + 6.4 + 6.3 + … + 3.9 + 4.8 + 5.5 + 5.5) / 40 = 5.1525

接下来，我们将计算每天浇水的所有植物的平均高度：

日平均值 = (4.8 + 5 + 6.4 + 6.3 + … + 4.4 + 4.8 + 5.8 + 5.8) /20 = 5.155

接下来，我们将计算每周浇水的所有植物的平均高度：

周平均值 = (4.4 + 4.9 + 5.8 + 6 + … + 3.9 + 4.8 + 5.5 + 5.5) /20 = 5.15

接下来，我们将使用以下公式计算“浇水频率”因子的平方和：

Σn(X _j – X ..) ²

金子：

• n : 第 j 组的样本量
• Σ ：希腊符号，意思是“和”
• X _j : 第 j 组的平均值
• X .. : 伟大的平均值

在我们的示例中，我们计算“浇水频率”因子的平方和如下： 20(5.155-5.1525) ² + 20(5.15-5.1525) ² = 0.00025

步骤 2：计算第二个因素（阳光照射）的平方和

首先，我们计算 40 株植物的总体平均高度：

总体平均值 = (4.8 + 5 + 6.4 + 6.3 + … + 3.9 + 4.8 + 5.5 + 5.5) / 40 = 5.1525

接下来，我们将计算所有未暴露在阳光下的植物的平均高度：

无太阳时的平均值 = (4.8 + 4.4 + 3.2 + 3.9 + 4.4 + 4.4 + 4.2 + 3.8 + 3.7 + 3.9) / 10 = 4.07

我们将重复此计算，以找出遭受各种阳光照射的植物的平均高度：

• 低日照平均值 = 5.1
• 平均日照 = 5.89
• 平均强日照 = 5.55

接下来，我们将使用以下公式计算“阳光照射”因子的平方和：

Σn(X _j – X ..) ²

金子：

• n : 第 j 组的样本量
• Σ ：希腊符号，意思是“和”
• X _j : 第 j 组的平均值
• X .. : 伟大的平均值

在我们的示例中，我们计算“阳光照射”因子的平方和如下： 10(4.07-5.1525) ² + 10(5.1-5.1525) ² + 10(5.89 -5.1525) ² + 10(5.55-5.1525) ² = 18.76475

第三步：计算里面的平方和（误差）

接下来，我们将通过计算每个因素组合与单个植物高度之间的差异的平方和来计算平方和。

例如，每天浇水而不暴露在阳光下的所有植物的平均高度为 4.14。然后，我们可以计算每个植物的差值平方和，如下所示：

• 日常浇水且无阳光的 SS： (4.8-4.14) ² + (4.4-4.14) ² + (3.2-4.14) ² + (3.9-4.14) ² + (4.4-4.14) ² = 1.512

我们可以对每个因素的组合重复这个过程：

• 日常浇水和低光照时的 SS： 0.928
• 每日浇水和平均日照 SS： 1,788
• SS适合日常浇水和强烈阳光： 1.648
• 每周无阳光浇水的 SS： 0.34
• 每周浇水和低光照的 SS： 0.548
• 每周浇水和平均日照的 SS： 0.652
• SS 每周浇水和强烈阳光： 1,268

然后我们可以将所有这些值相加来求出里面的平方和（误差）：

范围内的平方和 = 1.512 + 0.928 + 1.788 + 1.648 + 0.34 + 0.548 + 0.652 + 1.268 = 8.684

第四步：计算总平方和

然后我们可以通过将每株植物的高度与总平均值之间的差值之和来计算总平方和：

总平方和 = (4.8 – 5.1525) ² + (5 – 5.1525) ² + … + (5.5 – 5.1525) ² = 28.45975

步骤5：计算交互作用平方和

接下来，我们将使用以下公式计算平方和交互作用：

• 交互作用 SS = SS 总计 – SS 因子 1 – SS 因子 2 – SS 内部
• SS 相互作用 = 28.45975 – 0.00025 – 18.76475 – 8.684
• SS 相互作用 = 1.01075

第 6 步：完成方差分析表

最后，我们将填写双向方差分析表中的值：

以下是我们计算表中不同数字的方法：

• df 浇水频率： d-1=2-1=1
• df 阳光照射： k-1 = 4-1 = 3
• df交互：(j-1)*(k-1) = 1*3 = 3
• df 输入：n – (j*k) = 40 – (2*4) = 32
• 总 df： n-1 = 40-1 = 39
• MS： SS/DF
• 浇水频率 F ：室内 MS/MS 浇水频率
• F 阳光照射：MS/MS 室内阳光照射
• 相互作用 F : 相互作用 MS / MS 内
• p 值浇水频率：对应于 F 值 0.000921 的 p 值，分子 df = 1，分母 df = 32
• 阳光照射 p 值：对应于 F 值 23.04898 的 p 值，分子 df = 3，分母 df = 32
• p 值交互作用：p 值对应于 F 值 1.241517，分子 df = 3，分母 df = 32

注#1： n = 观察总数，j = 浇水频率的级别数，k = 阳光照射的级别数。

注#2 ：与 F 值相对应的 p 值是使用F 分布计算器计算的。

第 7 步：解释结果

我们可以从方差分析表中观察到以下内容：

• 浇水频率和阳光照射之间相互作用的 p 值为0.311 。当 α = 0.05 时，这在统计上不显着。
• 浇水频率的 p 值为0.975 。当 α = 0.05 时，这在统计上不显着。
• 阳光照射的 p 值<0.000 。当 α = 0.05 时，这具有统计显着性。

这些结果表明，阳光照射是对植物高度具有统计显着影响的唯一因素。

而且由于不存在交互作用，因此阳光照射的效果在每个浇水频率水平上都是一致的。

简而言之，植物每天还是每周浇水对于阳光照射对植物的影响没有影响。

其他资源

以下教程提供了有关方差分析的更多信息：

如何手动执行单向方差分析
如何手动执行重复测量方差分析
完整指南：如何报告双向方差分析结果