如何计算置信区间：3 个示例问题

均值的置信区间是可能包含具有一定置信水平的总体均值的值范围。

我们使用以下公式来计算平均值的置信区间：

置信区间 = x +/- t*(s/√ n )

金子：

• x ：样本均值
• t： t的临界值
• s：样本标准差
• n：样本量

注：如果总体标准差（σ）已知且样本量大于 30，则将公式中的 at 临界值替换为 az 临界值。

以下示例展示了如何在三种不同情况下构建均值的置信区间：

• 总体标准差 (σ) 未知
• 总体标准差 (σ) 已知，但 n ≤ 30
• 总体标准差 (σ) 已知且 n > 30

我们走吧！

示例 1：σ 未知时的置信区间

假设我们要计算某种植物物种的平均高度（以英寸为单位）的 95% 置信区间。

假设我们收集一个包含以下信息的简单随机样本：

• 样本均值 ( x ) = 12
• 样本量（n）= 19
• 样本标准差 (s) = 6.3

我们可以使用以下公式来构建这个置信区间：

• 95% CI = x +/- t*(s/√ n )
• 95% CI = 12 +/- t _{n-1, α/2} *(6.3/√ 19 )
• 95% CI = 12 +/- t _18.025 *(6.3/√ 19 )
• 95% CI = 12 +/- 2.1009*(6.3/√ 19 )
• 95% CI = (8,964, 15,037)

该特定植物物种的平均种群高度的 95% 置信区间为（8.964 英寸，15.037 英寸） 。

注意#1 ：我们使用逆 t 分布计算器来查找与 18 个自由度和 0.95 置信度相关的临界 t 值。

注意#2 ：由于总体标准差 (σ) 未知，因此我们在计算置信区间时使用临界值 t。

示例 2：当 σ 已知但 n ≤ 30 时的置信区间

假设我们要计算某次高考平均分的 99% 置信区间。

假设我们收集一个包含以下信息的简单随机样本：

• 样本平均值 ( x ) = 85
• 样本量 (n) = 25
• 总体标准差 (σ) = 3.5

我们可以使用以下公式来构建这个置信区间：

• 99% CI = x +/- t*(s/√ n )
• 99% CI = 85 +/- t _{n-1, α/2} *(3.5/√ 25 )
• 99% CI = 85 +/- t _24.005 *(3.5/√ 25 )
• 99% CI = 85 +/- 2.7969*(3.5/√ 25 )
• 99% CI = (83.042, 86.958)

本次高考总体平均成绩的 99% 置信区间为(83.042, 86.958) 。

注#1 ：我们使用逆 t 分布计算器来查找与 24 个自由度和 0.99 置信度相关的临界 t 值。

注意#2 ：由于总体标准差 (σ) 已知，但样本量 (n) 小于 30，因此我们在计算置信区间时使用临界值 t。

示例 3：当 σ 已知并且 n > 30 时的置信区间

假设我们要计算某种海龟的平均体重的 90% 置信区间。

假设我们收集一个包含以下信息的简单随机样本：

• 样本均值 ( x ) = 300
• 样本量（n）= 40
• 总体标准差 (σ) = 15

我们可以使用以下公式来构建这个置信区间：

• 90% CI = x +/- z*(σ/√ n )
• 90% CI = 300 +/- 1.645*(15/√ 40 )
• 90% CI = (296,099, 303,901)

该特定海龟物种的平均种群重量的 90% 置信区间为(83.042, 86.958) 。

注意#1 ：我们使用临界 Z 值计算器来查找与显着性水平 0.1 相关的临界 z 值。

注意#2 ：由于总体标准差 (σ) 已知且样本量 (n) 大于 30，因此我们在计算置信区间时使用临界值 z。

其他资源

以下教程提供有关置信区间的其他信息：

现实生活中置信区间的 4 个例子
如何写出置信区间结论
要检查的 6 个置信区间假设