如何在 excel 中构建预测区间

在统计学中， 简单线性回归是一种可以用来量化预测变量 x 和响应变量 y 之间关系的技术。

当我们执行简单的线性回归时，我们得到一条描述 x 和 y 之间关系的“最佳拟合线”，可以写为：

ŷ = b ₀ + b ₁ x

金子：

• ŷ 是响应变量的预测值
• b ₀是 y 轴截距
• b ₁是回归系数
• x 是预测变量的值

有时我们想使用这条最佳拟合线来构建给定值 x ₀的预测区间，该区间是预测值 ŷ ₀周围的一个区间，使得总体中 y 的真实值有 95% 的概率对应的x ₀包含在该区间内。

计算给定值 x ₀的预测区间的公式为：

× ₀ +/- t _α/2,df=n-2 * se

金子：

se = S _yx √(1 + 1/n + (x ₀ – x ) ² /SS _x )

这个公式可能看起来有点吓人，但实际上在 Excel 中计算起来很简单。接下来我们将看到一个使用此公式计算 Excel 中给定值的预测区间的示例。

示例：如何在 Excel 中构建预测区间

以下数据集显示了 15 名不同学生的学习小时数以及获得的考试成绩：

假设我们要为值 x ₀ = 3 创建一个 95% 的预测区间。也就是说，我们要创建一个区间，使得对于学习以下课程的学生，考试成绩有 95% 的概率落入该区间内3小时。

下面的截图展示了如何计算获得这个预测区间所需的所有值。

注： F列中的公式显示了E列中的值是如何计算的。

x ₀ = 3 值的 95% 预测区间为(74.64, 86.90) 。也就是说，我们以 95% 的概率预测学习 3 小时的学生将获得 74.64 到 86.90 之间的分数。

关于所用计算的一些注释：

• 为了计算 t _{α/2,df=n-2 的 t 临界值，}我们使用 α/2 = 0.05/2 = 0.25，因为我们想要 95% 的预测区间。请注意，较高的预测区间（例如，99% 的预测区间）将导致更宽的区间。相反，较小的预测区间（例如90%的预测区间）将导致较窄的区间。
• 我们使用公式=FORECAST()来获取 ŷ ₀的预测值，但公式=FORECAST.LINEAR()将返回完全相同的值。