二项分布简介

二项式分布是统计学中最流行的分布之一。要理解二项式分布，首先了解二项式实验会有所帮助。

二项式实验

二项式实验是具有以下属性的实验：

• 该实验由n次重复试验组成。
• 每个试验只有两种可能的结果。
• 每次试验的成功概率（表示为p ）是相同的。
• 每个测试都是独立的。

二项式实验最明显的例子是抛硬币。例如，假设我们抛硬币 10 次。这是一个二项式实验，因为它具有以下四个属性：

• 该实验由n次重复试验组成——共有 10 次试验。
• 每次试验只有两种可能的结果：正面或反面。
• 每次试验的成功概率（表示为p ）是相同的。如果我们将“成功”定义为着陆头，那么每次尝试的成功概率恰好为 0.5。
• 每次试验都是独立的——抛一枚硬币的结果不会影响任何其他抛硬币的结果。

二项式分布

二项式分布描述了在n次二项式实验中获得k次成功的概率。

如果随机变量X服从二项式分布，则X = k成功的概率可以通过以下公式求出：

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

金子：

• n：试验次数
• k：成功次数
• p：给定试验的成功概率
• _n C _k ：在n次试验中获得k次成功的方法数

例如，假设我们抛硬币 3 次。我们可以使用上面的公式来确定这 3 次抛掷中获得 0、1、2 和 3 次正面朝上的概率：

P(X=0) = ₃ C ₀ * 0.5 ⁰ * (1-0.5) ^3-0 = 1 * 1 * (0.5) ³ = 0.125

P(X=1) = ₃ C ₁ * 0.5 ¹ * (1-0.5) ^3-1 = 3 * 0.5 * (0.5) ² = 0.375

P(X=2) = ₃ C ₂ * 0.5 ² * (1-0.5) ^3-2 = 3 * 0.25 * (0.5) ¹ = 0.375

P(X=3) = ₃ C ₃ * 0.5 ³ * (1-0.5) ^3-3 = 1 * 0.125 * (0.5) ⁰ = 0.125

注意：我们使用这个组合计算器来计算每个示例_的nCk 。

我们可以创建一个简单的直方图来可视化此概率分布：

累积二项式概率的计算

使用上面的公式计算单个二项式概率（例如，硬币 3 次抛掷 1 次正面朝上的概率）很简单，但要计算累积二项式概率，我们需要添加各个概率。

例如，假设我们想知道一枚硬币在 3 次抛掷中出现 1 次或更少的正面朝上的概率。我们将使用以下公式来计算该概率：

P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1) = 0.125 + 0.375 = 0.5 。

这称为累积概率，因为它涉及添加多个概率。我们可以使用类似的公式计算每个结果获得k 个或更少正面朝上的累积概率：

P(X≤0) = P(X=0) = 0.125 。

P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1) = 0.125 + 0.375 = 0.5 。

P(X≤2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0.125 + 0.375 + 0.375 = 0.875 。

P(X≤3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0.125 + 0.375 + 0.375 + 0.125 = 1 。

我们可以创建一个直方图来可视化这个累积概率分布：

二项式概率计算器

当我们处理小数字时（例如 3 次硬币抛掷），手动计算二项式概率是合理的。然而，当我们处理较大的数字（例如 100 次抽奖）时，手动计算概率可能会很困难。在这些情况下，使用如下所示的二项式概率计算器会很有帮助。

例如，假设我们抛一枚硬币 n = 100 次，在给定的试验中，它落在正面的概率为 p = 0.5，我们想知道它落在正面的概率 k = 43 次或更少：

以下是如何解释结果：

• 硬币出现 43 次正面的概率是0.03007 。
• 硬币正面朝上少于 43 次的概率是0.06661 。
• 硬币正面朝上 43 次或更少的概率为0.09667 。
• 硬币正面朝上超过 43 次的概率是0.90333 。
• 硬币正面朝上 43 次或以上的概率为0.93339 。

二项分布的性质

二项式分布具有以下性质：

分布的平均值为μ = np

分布的方差为σ ² = np(1-p)

分布的标准差为σ = √ np(1-p)

例如，假设我们抛一枚硬币 3 次。设 p = 硬币正面朝上的概率。

我们期望的平均头数是 μ = np = 3*.5 = 1.5 。

我们期望的人数方差为 σ ² = np(1-p) = 3*.5*(1-.5) = 0.75 。

二项式分布练习题

使用以下练习题来测试您对二项式分布的了解。

问题1

问题：鲍勃的罚球命中率为 60%。如果他罚球 12 次，他罚中 10 次的概率是多少？

答案：使用上面的二项式分布计算器，其中 p = 0.6、n = 12 和 k = 10，我们发现 P(X=10) = 0.06385 。

问题2

问题：杰西卡抛硬币 5 次。硬币正面朝上两次或更少的概率是多少？

答案：使用上面的二项式分布计算器，p = 0.5、n = 5 和 k = 2，我们发现 P(X≤2) = 0.5 。

问题3

问题：某个学生被某所大学录取的概率是 0.2。如果有 10 名学生申请，超过 4 名学生被录取的概率是多少？

答案：使用上面的二项式分布计算器，其中 p = 0.2、n = 10 且 k = 4，我们发现 P(X>4) = 0.03279 。

问题4

问题：抛硬币 12 次。预计出现的平均头像数是多少？

答案：回想一下，二项式分布的均值计算公式为 μ = np。因此，μ = 12*0.5 = 6 个头。

问题5

问题：马克有 10% 的出手次数能打出全垒打。如果他在一场比赛中出击 5 次，他击中的本垒打数量的差异是多少？

答案：回想一下，二项式分布的方差计算公式为 σ ² = np(1-p)。因此， ^σ2 = 6*.1*(1-.1) = 0.54 。

其他资源

以下文章可以帮助您学习如何在不同的统计软件中使用二项分布：

• 如何在 Excel 中计算二项式概率
• 如何在 TI-84 计算器上计算二项式概率
• 如何在 R 中计算二项式概率
• 如何在 R 中绘制二项式分布