Z 检验

经过本杰明·安德森博 8月 3, 2023 统计数据 0 条评论

本文解释了统计学中的 Z 检验是什么以及它的用途。因此，您将了解如何进行 Z 检验、不同的 Z 检验公式，以及最后 Z 检验与其他统计检验之间的差异。

什么是 Z 检验？

在统计学中， Z 检验是当检验统计量服从正态分布时使用的假设检验。从 Z 检验获得的统计量称为 Z 统计量或 Z 值。

Z 检验公式始终相同，更准确地说，Z 检验统计量等于计算的样本值与建议总体值之间的差值除以总体参数的标准差。

$Z=\cfrac{\widehat{X}-X}{\sigma_{_X}}$

Z 检验用于拒绝或接受假设检验的原假设，其中检验统计量服从正态分布。

例如，Z 检验用于在总体方差已知时检验均值的假设，以便拒绝或接受关于总体均值的假设。

➤请参阅：什么是假设检验？

Z 检验的类型

根据执行假设检验的参数，可以区分不同类型的 Z 检验：

均值 Z 检验。
比例 Z 检验。
Z 检验均值差异。
Z 检验比例差异。

您可以在下面看到每种类型 Z 检验的公式。

均值 Z 检验

均值的 Z 检验公式为：

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

金子：

$Z$

是均值的 Z 检验统计量。
$\overline{x}$

是样本均值。
$\mu$

是建议的平均值。
$\sigma$

是总体标准差。
$n$

是样本大小。

计算平均值的假设检验统计量后，应将结果解释为拒绝或拒绝原假设：

如果均值的假设检验是双向的，则当统计量的绝对值大于临界值 Z _α/2时，将拒绝原假设。
如果均值的假设检验与右尾匹配，且统计量大于临界值 Z _α ，则拒绝原假设。
如果均值的假设检验与左尾匹配，且统计量小于临界值 -Z _α ，则拒绝原假设。

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Z检验的临界值是从标准正态分布表中获得的。

➤请参阅：均值的假设检验

比例 Z 检验

比例的Z检验公式为：

$\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

金子：

$Z$

是比例的 Z 检验统计量。
$\widehat{p}$

是样本比例。
$p$

是建议比例的值。
$n$

是样本大小。
$\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

是比例的标准差。

请记住，仅计算比例的 Z 检验统计量是不够的，您还必须解释获得的结果：

如果该比例的假设检验是双向的，则当统计量的绝对值大于临界值 Z _α/2时，将拒绝原假设。
如果该比例的假设检验与右尾匹配，且统计量大于临界值 Z _α ，则拒绝原假设。
如果比例的假设检验与左尾匹配，且统计量小于临界值 -Z _α ，则拒绝原假设。

$\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

➤请参阅：比例假设检验

均值差异的 Z 检验

均值差的 Z 检验统计量的计算公式为：

$\displaystyle Z=\frac{\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\displaystyle\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$

金子：

$Z$

是已知方差的两个均值之差的 Z 检验统计量，遵循标准正态分布。
$\mu_1$

是总体 1 的平均值。
$\mu_2$

是总体 2 的平均值。
$\overline{x_1}$

是样本 1 的平均值。
$\overline{x_2}$

是样本 2 的平均值。
$\sigma_1$

是总体 1 的标准差。
$\sigma_2$

是总体 2 的标准差。
$n_1$

是样本量 1。
$n_2$

是样本量 2。

➤请参阅：均值差异的假设检验

比例差异的 Z 检验

计算两个总体比例差异的 Z 检验统计量的公式为：

$\displaystyle Z=\frac{\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})-(p_1-p_2)}{\displaystyle \sqrt{p_0(1-p_0)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}$