中心极限定理：定义+示例

中心极限定理指出，如果样本量足够大，即使总体分布不正态，样本均值的抽样分布也近似正态。

中心极限定理还指出，抽样分布将具有以下属性：

1.抽样分布的均值将等于总体分布的均值：

x = µ

2.抽样分布的方差将等于总体分布的方差除以样本量：

^s2 = ^σ2 /n

中心极限定理的例子

这里有一些例子来说明实践中的中心极限定理。

均匀分布

假设乌龟壳的宽度服从均匀分布，最小宽度为 2 英寸，最大宽度为 6 英寸。也就是说，如果我们随机选择一只乌龟并测量它的壳的宽度，它也很可能在 2 到 6 英寸宽之间。

如果我们制作一个直方图来表示龟壳宽度的分布，它将如下所示：

均匀分布的平均值为μ = (b+a) / 2，其中b是最大可能值， a是最小可能值。在这种情况下，它是 (6+2) / 2 = 4。

均匀分布的方差为^σ2 = (ba) ^2/12 。在这种情况下，它是 (6-2) ^2/12 = 1.33

从均匀分布中随机抽取 2 个样本

现在想象一下，我们从这个种群中随机抽取 2 只海龟样本，并测量每只海龟壳的宽度。假设第一个海龟的壳有 3 英寸宽，第二个海龟的壳有 6 英寸宽。 2 只海龟样本的平均宽度为 4.5 英寸。

接下来，假设我们从该种群中随机抽取 2 只海龟，并再次测量每只海龟的壳宽度。假设第一个海龟的壳有 2.5 英寸宽，第二个海龟的壳也有 2.5 英寸宽。 2 只海龟样本的平均宽度为 2.5 英寸。

想象一下，我们一遍又一遍地从两只海龟身上随机抽取样本，并每次都找到平均壳宽度。

如果我们制作一个直方图来表示 2 只海龟的所有这些样本的平均壳宽度，它将如下所示：

这称为样本均值的抽样分布，因为它显示了样本均值的分布。

该抽样分布的平均值为x = μ = 4

该抽样分布的方差为^s2 = ^σ2 / n = 1.33 / 2 = 0.665

从均匀分布中随机抽取 5 个样本

现在想象我们重复相同的实验，但这次我们一次又一次地从 5 只海龟中随机抽取样本，并每次找到平均壳宽度。

如果我们制作一个直方图来表示 5 只海龟的所有这些样本的平均壳宽度，它将如下所示：

请注意，此分布更多地具有类似于正态分布的“钟形”形状。这是因为当我们抽取 5 个样本时，样本均值之间的方差要低得多，因此我们不太可能获得平均值接近 2 英寸或 6 英寸的样本，而更有可能获得平均值接近 2 英寸或 6 英寸的样本。 6英寸。该平均值与实际人口平均值更接近 4 英寸。

该抽样分布的平均值为x = μ = 4

该抽样分布的方差为^s2 = ^σ2 / n = 1.33 / 5 = 0.266

从均匀分布中随机抽取 30 个样本

现在想象我们重复相同的实验，但这次我们一次又一次地从 30 只海龟中随机抽取样本，并每次找出平均壳宽度。

如果我们制作一个直方图来表示 30 只海龟的所有样本的平均壳宽度，它将如下所示：

请注意，此采样分布比前两个分布更呈钟形且窄得多。

该抽样分布的平均值为x = μ = 4

该抽样分布的方差为^s2 = ^σ2 / n = 1.33 / 30 = 0.044

卡方分布

假设某个城市每个家庭的宠物数量服从三个自由度的卡方分布。如果我们制作一个直方图来表示动物按科的分布，它将如下所示：

卡方分布的平均值就是自由度 (df) 的数量。在这种情况下， μ = 3 。

卡方分布的方差为 2 * df。在这种情况下， ^σ2 = 2 * 3 = 6 。

随机抽取 2 个样本

想象一下，我们从这个群体中随机抽取 2 个家庭样本，并计算每个家庭中宠物的数量。假设第一家庭有 4 只宠物，第二家庭有 1 只宠物。 2 个家庭样本的平均宠物数量为 2.5 只。

然后想象我们从这个群体中随机抽取 2 个家庭样本，并再次计算每个家庭中宠物的数量。假设第一家庭有 6 只宠物，第二家庭有 4 只宠物。该 2 个家庭样本的平均宠物数量为 5 只。

想象一下，我们一遍又一遍地从两个家庭中随机抽取样本，并不断找出每次宠物的平均数量。

如果我们制作一个直方图来表示来自 2 个家庭的所有样本的平均宠物数量，它将如下所示：

该抽样分布的平均值为x = μ = 3

该抽样分布的方差为s ² = σ ² / n = 6 / 2 = 3

随机抽取 10 个样本

现在想象我们重复同样的实验，但这次我们一次又一次地随机抽取 10 个家庭的样本，每次都找出每个家庭的平均动物数量。

如果我们制作一个直方图来表示 10 个科的所有样本中每个科的平均动物数量，它将如下所示：

该抽样分布的平均值为x = μ = 3

该抽样分布的方差为^s2 = ^σ2 / n = 6/10 = 0.6

随机抽取 30 个样本

现在想象我们重复同样的实验，但这次我们一次又一次地随机抽取 30 个家庭的样本，每次都找出每个家庭的平均动物数量。

如果我们制作一个直方图来表示 30 个科的所有样本中每个科的平均动物数量，它将如下所示：

该抽样分布的平均值为x = μ = 3

该抽样分布的方差为^s2 = ^σ2 / n = 6/30 = 0.2

概括

以下是这两个示例的主要要点：

• 如果样本量足够大，即使总体分布不正态，样本均值的抽样分布也近似正态。在上面的两个例子中，均匀分布和卡方分布都不是正态的（它们根本不是“钟”形的），但是当我们取足够大的样本时，样本均值的分布似乎变成了正常一点。
• 样本量越大，样本均值的方差越低。

定义“足够大”

回想一下，中心极限定理指出，如果样本量“足够大” ，则样本均值的抽样分布近似正态，即使总体分布不正态。

对于应用中心极限定理的样本应该有多大没有确切的定义，但一般来说它取决于样本来自的总体分布的偏度：

• 如果总体分布是对称的，有时小至 15 个样本就足够了。
• 如果人口分布存在偏差，通常需要至少 30 人的样本。
• 如果人口分布极度不均，则可能需要 40 人或更多人的样本。

请查看有关调节大样本的教程，了解有关此主题的更多信息。