乘法规则

本文解释了概率论中的乘法规则，也称为乘积规则。因此，您将找到乘法规则的公式是什么、如何使用乘法规则计算概率的示例，以及几个已解决的练习练习。

乘法规则取决于事件是独立的还是相关的，因此我们将首先了解独立事件的规则，然后了解相关事件的规则。

独立事件的乘法规则

请记住，独立事件是统计实验的结果，其发生概率彼此不依赖。换句话说，如果事件 A 发生的概率不依赖于事件 B 的发生，则两个事件 A 和 B 是独立的，反之亦然。

独立事件的乘法规则公式

因此，独立事件的乘法规则的公式为：

金子：

• 

  和

  

  这是两个独立的事件。

• 

  是事件A和事件B发生的联合概率。

• 

  是事件 A 发生的概率。

• 

  是事件 B 发生的概率。

独立事件的乘法规则示例

• 一枚硬币连续抛三次。计算所有 3 次抛掷都获得正面的概率。

在这种情况下，我们要计算联合概率的事件是独立的，因为抽签的结果不依赖于前一次抽签获得的结果。因此，要确定连续获得三个正面的联合概率，我们需要使用独立事件的乘法规则公式：

当我们抛硬币时，只有两种可能的结果：正面或反面。因此，抛硬币时正面或反面出现的概率为：

因此，为了求出所有 3 次抛硬币都出现正面的概率，我们需要将出现正面的概率乘以 3：

简而言之，连续 3 次正面朝上的概率为 12.5%。

下面你在树形图中用概率表示了所有可能的事件，这样你可以更好地看到我们获得联合概率的过程：

相关事件的乘法规则

现在我们已经了解了独立事件的乘法规则是什么，让我们看看该定律对于相关事件来说是什么样的，因为公式略有不同。

请记住，相关事件是随机实验的结果，其发生概率相互依赖。也就是说，如果一个事件发生的概率影响另一事件发生的概率，则两个事件是相关的。

相关事件的乘法规则公式

因此，相关事件的乘法规则的公式为：

金子：

• 

  和

  

  这是两个相关事件。

• 

  是事件A和事件B发生的概率。

• 

  是事件 A 发生的概率。

• 

  是给定事件 A 时事件 B 发生的条件概率。

相关事件的乘法规则示例

• 在一个空盒子里，我们放入 8 个蓝色球、4 个橙色球和 2 个绿色球。如果我们先抽一个球，然后再抽另一个球，而不将抽出的第一个球放回盒子中，那么第一个球是蓝色的，第二个球是橙色的概率是多少？

在这种情况下，事件是相关的，因为在第二次抽奖中拿起橙色球的概率取决于在第一次抽奖中抽出的球的颜色。因此，为了计算联合概率，我们需要使用相关事件的乘法规则公式：

第一次抽奖中获得蓝球的概率很容易确定，只需将蓝球的数量除以球的总数即可：

另一方面，在拿走蓝色球后抽出橙色球的概率的计算方式有所不同，因为橙色球的数量不同，此外，现在盒子内少了一个球：

因此，首先绘制蓝色球然后绘制橙色球的联合概率是通过将上面找到的两个概率相乘来计算的：

已解决的乘法规则练习

练习1

一个城镇只有3个日托中心：60%的孩子去A日托中心，30%去B日托中心，10%去C日托中心。此外，在这三个日托中心中，55%的人是女孩。计算以下概率：

• 从日托 B 中随机选择一个孩子时，该孩子是女孩的概率。
• 从任何日托中心随机选择一个孩子时，该孩子是男孩的概率。

如果所有日托机构中女孩的比例为 55%，则男孩的百分比只需减去 1 减 0.55 即可计算：

现在我们知道了所有的概率，我们可以用所有可能性的概率创建树：

在这种情况下，事件是独立的，因为男孩或女孩的概率不取决于所选择的日托。因此，要找到从日托 B 中随机选择女孩的概率，您需要将选择日托 B 的概率乘以选择女孩的概率：

另一方面，要确定在任何日托中心选择男孩的概率，我们必须首先计算每个日托中心选择男孩的概率，然后将它们加在一起：

练习2

研究了一个国家 25 家公司的财政年度以及它们的股价如何根据当年的经济结果变化。您可以在以下列联表中看到收集的数据：

一家公司盈利同时股价上涨的可能性有多大？

在这种情况下，事件是相关的，因为股票上涨或下跌的概率取决于经济结果。因此，我们需要对相关事件应用乘法规则公式：

因此，我们首先计算公司盈利的概率，其次计算公司在获得经济利润时股票增加的概率：

接下来，我们将计算出的值代入公式，计算联合概率：