伯努利分布

经过本杰明·安德森博 8月 4, 2023 可能性 0 条评论

本文解释了什么是伯努利分布及其公式。此外，您还将找到伯努利分布的属性和已解决的练习，以更好地理解其含义。

什么是伯努利分布？

伯努利分布，也称为二分分布，是一种概率分布，表示只能有两种结果的离散变量：“成功”或“失败”。

在伯努利分布中，“成功”是我们期望的结果，其值为 1，而“失败”的结果是与预期不同的结果，其值为 0。因此，如果“结果的概率” “成功”的结果为p ，“失败”结果的概率为q=1-p 。

$\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}$

伯努利分布以瑞士统计学家雅各布·伯努利的名字命名。

在统计学中，伯努利分布主要有一个应用：定义实验的概率，其中只有两种可能的结果：成功和失败。因此，使用伯努利分布的实验称为伯努利测试或伯努利实验。

伯努利分布公式

如果p是“成功”结果发生的概率，则伯努利分布的概率等于p提高到x乘以1-p提高到1-x 。因此，伯努利分布的概率可以使用以下公式计算：

请注意，在伯努利分布中， x的值只能为 0（失败）或 1（成功）。

另一方面，前面的公式也可以用下面的等价表达式来写：

$\displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.$

伯努利分布示例

现在我们知道了伯努利分布的定义及其公式是什么，让我们看一个伯努利分布的具体例子。

要赢得游戏，玩家必须掷骰子并得到 2，否则另一玩家将赢得游戏，因此游戏就会失败。计算成功和失败的概率。

一个骰子有六种可能的结果（1、2、3、4、5、6），因此在本例中实验的样本空间为：

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

在我们的例子中，唯一成功的情况是得到数字 2，因此应用拉普拉斯规则时成功的概率等于 1 除以可能结果的总数 (6)：

$p=\cfrac{1}{6}=0,1667$

另一方面，如果掷骰子时出现另一个数字，则实验结果将被视为失败，因为玩家将输掉游戏。因此，该概率等于一减去先前计算的概率：

$q=1-p=1-\cfrac{1}{6}=\cfrac{5}{6}=0,8333$

简而言之，本实验的伯努利分布由以下表达式定义：

$\displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}\cfrac{5}{6} & \text{si } x=0\\[4ex]\cfrac{1}{6} & \text{si } x=1\end{array}\right.$

如下所示，伯努利分布的概率也可以通过应用上面的公式得出：

$P[X=x]=p^x\cdot (1-p)^{1-x}$

$\displaystyle P[X=0]=\left(\frac{1}{6}\right)^0\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-0}=\cfrac{5}{6}$

$\displaystyle P[X=1]=\left(\frac{1}{6}\right)^1\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-1}=\cfrac{1}{6}$

伯努利分布的特征

以下是伯努利分布的最重要特征。

伯努利分布只能取值 1（成功）或 0（失败）。

$x=\{0\ ; 1\}$

伯努利分布的平均值相当于“成功”结果发生的概率。

$E[X]=p$

伯努利分布的方差可以通过结果“成功”和“失败”发生的概率相乘来计算。或者，等价地，方差是p乘以1-p 。

$Var(X)=p\cdot q=p\cdot (1-p)$

伯努利分布众数的值取决于“成功”和“失败”的概率。因此，这种分布的模式由以下表达式定义：

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\displaystyle Mo=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } q>p\\[2ex]0 \ ;1 & \text{si } q=p\\[2ex] 1 & \text{si } q<ul><li> The formula for the probability function of a Bernoulli distribution is as follows:</li></ul>[latex] \displaystyle P[X=x]= \left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.

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另一方面，伯努利分布的累积概率函数由以下表达式定义：

$\displaystyle P[X\leq x]=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } x<0\\[2ex]1-p& \text{si }0 \leq x<1\\[2ex]1 & \text{si } x\geq 1\end{array}\right.$

伯努利分布的不对称系数通过以下表达式计算：

$A=\cfrac{q-p}{\sqrt{p\cdot q}}$

同样，伯努利分布的峰度取决于参数p的值，可以通过应用以下公式找到：

$C=\cfrac{3p^2-3p+1}{p(1-p)}$

伯努利分布和二项式分布

在本节中，我们将看到伯努利分布和二项分布之间的区别，因为它们是两种相关的概率分布。

二项式分布计算从一组伯努利试验中获得的“成功”结果的数量。这些伯努利实验必须是独立的，但必须具有相同的成功概率。

因此，二项分布是遵循伯努利分布的一组变量的总和，所有变量均由相同的参数p定义。

$\begin{array}{c}X_i\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\displaystyle \sum_{i=1}^nX_i\sim \text{Bin}(n,p)\end{array}$

因此，在伯努利分布中只有一个伯努利实验，而在二项分布中则有一系列伯努利实验。

关于作者

本杰明·安德森博

大家好，我是本杰明，一位退休的统计学教授，后来成为 Statorials 的热心教师。凭借在统计领域的丰富经验和专业知识，我渴望分享我的知识，通过 Statorials 增强学生的能力。了解更多