假设对比

经过本杰明·安德森博 8月 3, 2023 统计数据 0 条评论

本文解释了统计学中的假设检验是什么。因此，您将学习如何进行假设检验、不同类型的假设检验以及进行假设检验时可能出现的错误。

什么是假设检验？

假设检验是用于拒绝或否定统计假设的程序。在假设检验中，我们判断总体参数的值是否与在所述总体样本中观察到的结果一致。

也就是说，在假设检验中，对统计样本进行分析，并根据获得的结果确定是拒绝还是接受先前建立的假设。

请记住，一般来说，从假设检验中，人们无法完全确定地推断假设是真是假，但假设只是被拒绝或不基于所获得的结果。因此，在检验假设时，即使有统计证据表明所做的决定是最有可能的，仍然可能会犯错误。

在统计学中，假设检验也称为假设检验、假设检验或显着性检验。

假设检验理论由英国统计学家罗纳德·费舍尔 (Ronald Fisher) 建立，并由杰西·内曼 (Jerzy Neyman) 和埃贡·皮尔逊 (Egon Pearson) 进一步发展。

原假设和备择假设

假设检验由两种类型的统计假设组成：

零假设 (H ₀ ) ：该假设认为我们关于总体参数的初始假设是错误的。因此，零假设是我们希望拒绝的假设。
备择假设（H ₁ ） ：是其真实性应该被证明的研究假设。也就是说，备择假设是研究者的先验假设，为了试图证明其正确性，将进行对比假设。

实际上，备择假设是在原假设之前制定的，因为备择假设旨在通过数据样本的统计分析来证实。然后简单地通过反驳备择假设来制定原假设。

假设检验的类型

假设检验可以分为两种不同的类型：

双尾假设检验（或双尾假设检验） ：假设检验的备择假设指出总体参数与特定值“不同”。
单尾假设检验（或单尾假设检验） ：假设检验的备择假设表明总体参数“大于”（右尾）或“小于”（左尾）某个特定值。

双尾假设检验

$\begin{cases}H_0: \mu=\mu_0\\[2ex]H_1:\mu\neq\mu_0\end{cases}$

单尾假设检验（右尾）

$\begin{cases}H_0: \mu\leq \mu_0\\[2ex]H_1:\mu>\mu_0\end{cases}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”65″ width=”102″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> </div> <div class=$

单尾假设检验（左尾）

$\begin{cases}H_0: \mu\geq\mu_0\\[2ex]H_1:\mu<\mu_0\end{cases}$

假设检验的拒绝区域和接受区域

正如我们将在下面详细看到的，假设检验包括计算每种假设检验的特征值，该值称为假设检验统计量。因此，一旦计算出对比度统计量，就需要观察它位于以下两个区域中的哪一个区域才能得出结论：

拒绝区域（或临界区域） ：这是涉及拒绝原假设（并接受备择假设）的假设检验参考分布的图形区域。
接受区域：这是假设检验参考分布的图形区域，意味着接受原假设（并拒绝备择假设）。

简而言之，如果检验统计量落在拒绝区内，则拒绝原假设并接受备择假设。相反，如果检验统计量落在接受区域内，则接受原假设并拒绝备择假设。

建立拒绝区域和接受区域边界的值称为临界值，类似地，定义拒绝区域的值的区间称为置信区间。这两个值都取决于所选的显着性水平。

➤请参阅： Alpha 显着性级别

另一方面，拒绝或接受原假设的决定也可以通过将从假设检验获得的p 值（或 p 值）与所选显着性水平进行比较来做出。

➤请参阅： p 值是多少？

如何进行假设检验

要进行假设检验，应遵循以下步骤：

陈述假设检验的原假设和备择假设。
建立所需的 alpha (α) 显着性水平。
计算假设对比统计量。
确定假设检验的临界值，以了解假设检验的拒绝域和接受域。
观察假设对比统计量是在拒绝区域还是接受区域。
如果统计量落在拒绝区域内，则拒绝原假设（并接受备择假设）。但如果统计量落在接受区内，则接受原假设（并拒绝备择假设）。

➤请参阅：均值的假设检验
➤请参阅：比例假设检验
➤请参阅：方差假设检验

假设检验错误

在假设检验中，当拒绝一个假设并接受另一个检验假设时，可能会犯以下两个错误之一：

I 类错误：这是在原假设为真时拒绝原假设时所犯的错误。
II 类错误：这是在原假设实际上为假时接受原假设而犯的错误。

另一方面，犯每种类型错误的概率如下：

Alpha概率（α） ：是犯第一类错误的概率。
Beta概率（β） ：是犯第二类错误的概率。

类似地，假设检验的功效被定义为当原假设（H ₀ ）为假时拒绝原假设（H 0 ）的概率，或者换句话说，它是当备择假设（H ₁ ）为真时选择它的概率。因此，假设检验的功效等于 1-β。

假设检验统计

假设检验的统计量是假设检验参考分布的值，用于确定是否拒绝原假设。如果检验统计量落入拒绝域，则拒绝原假设（并接受备择假设），反之，如果检验统计量落入接受域，则接受原假设（并接受备择假设）拒绝）。替代假设）。

假设检验统计量的计算取决于检验的类型。因此，每种假设检验的统计量计算公式如下所示。

均值的假设检验

已知方差的均值的假设检验统计量的公式为：

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

金子：

$Z$

是平均值的假设对比统计量。
$\overline{x}$

是样本均值。
$\mu$

是建议的平均值。
$\sigma$

是总体标准差。
$n$

是样本大小。

计算平均值的假设检验统计量后，必须解释结果是否拒绝原假设：

如果均值的假设检验是双向的，则当统计量的绝对值大于临界值 Z _α/2时，将拒绝原假设。
如果均值的假设检验与右尾匹配，且统计量大于临界值 Z _α ，则拒绝原假设。
如果均值的假设检验与左尾匹配，且统计量小于临界值 -Z _α ，则拒绝原假设。

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

在这种情况下，临界值是从标准化正态分布表中获得的。

另一方面，方差未知的均值的假设检验统计量的公式为：

$\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}$

金子：

$t$

是平均值的假设检验统计量，由学生 t 分布定义。
$\overline{x}$

是样本均值。
$\mu$

是建议的平均值。
$s$

是样本标准差。
$n$

是样本大小。

和以前一样，检验统计量的计算结果必须用临界值来解释，以拒绝或不拒绝原假设：

如果均值的假设检验是双向的，并且统计量的绝对值大于临界值 t _α/2|n-1 ，则拒绝原假设。
如果均值的假设检验与右尾匹配，且统计量大于临界值 t _{α|n-1 ，}则拒绝原假设。
如果均值的假设检验与左尾匹配，且统计量小于临界值 -t _{α|n-1 ，}则拒绝原假设。

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

当方差未知时，从Student分布表中获得临界测试值。

比例假设检验

比例假设检验统计量的公式为：

$\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

金子：

$Z$

是该比例的假设检验统计量。
$\widehat{p}$

是样本比例。
$p$

是建议的比例值。
$n$

是样本大小。
$\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

是比例的标准差。

请记住，计算比例的假设检验统计量是不够的，但必须解释结果：

如果该比例的假设检验是双向的，则当统计量的绝对值大于临界值 Z _α/2时，将拒绝原假设。
如果该比例的假设检验与右尾匹配，且统计量大于临界值 Z _α ，则拒绝原假设。
如果比例的假设检验与左尾匹配，且统计量小于临界值 -Z _α ，则拒绝原假设。

$\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

请记住，可以从标准正态分布表中轻松获得临界值。

方差假设检验

方差假设检验统计量的计算公式为：

$\chi^2=\cfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$

金子：

$\chi^2$

是方差的假设检验统计量，具有卡方分布。
$n$

是样本大小。
$s^2$

是样本方差。
$\sigma^2$

是建议总体的方差。

为了解释统计结果，必须将获得的值与测试的临界值进行比较。

如果方差假设检验是双尾的，则当统计量大于临界值时，将拒绝原假设。
$\chi_{1-\alpha/2|n-1}^2$

或者如果临界值小于

$\chi_{\alpha/2|n-1}$

。
如果方差的假设检验与右尾匹配，且统计量大于临界值，则拒绝原假设
$\chi_{1-\alpha|n-1}^2$

。
如果方差假设检验与左尾匹配，且统计量小于临界值，则拒绝原假设
$\chi_{\alpha|n-1}$

。

$\begin{array}{l}H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si }\chi^2<\chi^2_{\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0 \\[3ex]H_1: \sigma^2> \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2< \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2<\chi^2_{\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}$

方差的临界假设检验值是从卡方分布表中获得的。请注意，卡方分布的自由度是样本大小减 1。

关于作者

本杰明·安德森博

大家好，我是本杰明，一位退休的统计学教授，后来成为 Statorials 的热心教师。凭借在统计领域的丰富经验和专业知识，我渴望分享我的知识，通过 Statorials 增强学生的能力。了解更多