如何测试回归斜率的显着性

假设我们有以下数据集，显示 12 套不同房屋的面积和价格：

我们想知道平方英尺和价格之间是否存在显着关系。

为了了解数据的样子，我们首先创建一个散点图，其中 x 轴为平方英尺，y 轴为价格：

我们可以清楚地看到面积和价格之间存在正相关关系。随着面积的增加，房屋的价格也趋于上涨。

然而，为了找出平方英尺和价格之间是否存在统计上显着的关系，我们需要运行一个简单的线性回归。

因此，我们使用平方英尺作为预测变量，使用价格作为响应来运行简单的线性回归，并得到以下结果：

无论您在 Excel、SPSS、R 还是任何其他软件中运行简单线性回归，您都会得到与上图类似的结果。

请记住，简单的线性回归将产生最佳拟合线，这是最“拟合”散点图中数据的线的方程。这条最佳拟合线定义为：

ŷ = b ₀ + b ₁ x

其中 ŷ 是响应变量的预测值，b ₀是截距，b ₁是回归系数，x 是预测变量的值。

b ₀的值由原点系数给出，即47588.70。

b ₁的值由预测变量Square Feet的系数给出，即93.57。

所以本例中的最佳拟合线是ŷ = 47588.70+ 93.57x

以下是如何解释这条最佳拟合线：

• b ₀ ：当平方英尺的值为零时，预期平均价格值为 47,588.70 美元。 （在这种情况下，解释截距实际上没有意义，因为房子永远不可能有零平方英尺）
• b ₁ ：每增加一平方英尺，平均预期价格上涨为 93.57 美元。

因此，我们现在知道，每增加一平方英尺，平均预期价格上涨为 93.57 美元。

要了解这种增加是否具有统计显着性，我们需要对 B ₁进行假设检验或构建 B ₁的置信区间。

注意：假设检验和置信区间总是给出相同的结果。

构建回归斜率的置信区间

为了构建回归斜率的置信区间，我们使用以下公式：

置信区间 = b ₁ +/- (t _{1-∝/2, n-2} ) * (b ₁的标准误差)

金子：

• b ₁是回归结果中给出的斜率系数
• (t _{1-∝/2, n-2} ) 是具有 n-2 自由度的 1-∝ 置信水平的临界 t 值，其中n是数据集中的观测总数
• (b ₁的标准误差) 是回归结果中给出的 b ₁的标准误差

对于我们的示例，以下是如何构建 B ₁的 95% 置信区间：

• 回归输出的 b ₁为 93.57。
• 由于我们使用 95% 置信区间，∝ = 0.05 且 n-2 = 12-2 = 10，因此根据 t 分布表，t _{0.975, 10}为 2.228
• （ _b1的标准误差）是回归输出的 11.45

因此，B ₁的 95% 置信区间为：

93.57 +/- (2.228) * (11.45) = (68.06, 119.08)

这意味着我们有 95% 的信心认为每增加平方英尺的真实平均价格涨幅在 68.06 美元至 119.08 美元之间。

请注意，0 美元不在此区间内，因此平方英尺和价格之间的关系在 95% 置信水平下具有统计显着性。

对回归斜率执行假设检验

要对回归斜率进行假设检验，我们遵循任何假设检验的五个标准步骤：

步骤 1. 陈述假设。

原假设 (H0)：B ₁ = 0

备择假设：(Ha)：B ₁ ≠ 0

步骤 2. 确定要使用的显着性水平。

由于我们在上一个示例中构建了 95% 置信区间，因此我们将在此处使用等效方法并选择使用 0.05 的显着性水平。

步骤 3. 查找检验统计量和相应的 p 值。

在这种情况下，检验统计量为t = b ₁的系数 / b ₁的标准误差（具有 n-2 自由度）。我们可以从回归结果中找到这些值：

因此，检验统计量t = 92.89 / 13.88 = 6.69。

使用分数为 6.69、自由度为 10 且双尾检验的T 分数到 P 值计算器，p 值 = 0.000 。

步骤 4. 拒绝或不拒绝原假设。

由于 p 值低于显着性水平 0.05，因此我们拒绝原假设。

步骤 5. 解释结果。

由于我们拒绝了零假设，因此我们有足够的证据表明，每增加平方英尺的真实平均价格涨幅不为零。