比例差异的置信区间

本文解释了统计中比例差异的置信区间是什么以及它的用途。您还将了解如何计算两个比例之差的置信区间以及逐步解决的练习。

比例差异的置信区间是多少?

比例差异的置信区间是提供一系列可接受值的区间,在该范围内两个总体比例之间的差异值符合一定的置信水平。

例如,如果在 95% 置信水平下两个总体比例之间的差异的置信区间为 (0.07, 15),则这意味着两个总体比例之间的差异将在 7% 到 15% 之间,概率为95%。

因此,在统计学中,比例差异的置信区间用于估计两个值,这两个值之间联系着两个人口比例之间的差异。因此收集了两个样本,并且根据这些数据可以大致评估总体比例之间的差异。

比例差异的置信区间公式

置信水平为1-α的比例差的置信区间计算公式如下:

\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})\pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat{p_1}(1-\widehat{p_1})}{n_1}+\frac{\widehat{p_2}(1-\widehat{p_2})}{n_2}}

金子:

  • \widehat{p_i}

    是样本比例 i。

  • n_i

    是样本大小 i。

  • Z_{\alpha/2}

    是对应于 α/2 概率的标准正态分布的分位数。对于大样本量和 95% 置信水平,它通常接近 1.96;对于 99% 置信水平,它通常接近 2.576。

比例差异置信区间的具体示例

在了解了比例差的置信区间的定义及其公式是什么之后,我们将看到一个具体的例子来说明如何计算比例差的置信区间。

  • 我们想做一个左撇子比例的统计研究,更准确地说,我们想知道男性和女性左撇子比例的差异。为此,抽取了 60 名男性样本和 67 名女性样本,其中 5 名男性和 7 名女性为左撇子。 95% 置信水平下比例差异的置信区间是多少?

首先,我们需要计算每个统计样本中左撇子的比例:

\widehat{p_1}=\cfrac{5}{60}=0,083

\widehat{p_2}=\cfrac{7}{67}=0,104

正如我们在上一节中看到的,确定比例差异置信区间的公式为:

\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})\pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat{p_1}(1-\widehat{p_1})}{n_1}+\frac{\widehat{p_2}(1-\widehat{p_2})}{n_2}}

因此,为了找到比例差异的置信区间,我们需要确定 Z α /2 的值。为此,我们使用标准正态分布表

1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025

\begin{array}{c}Z_{\alpha/2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]Z_{0,025}=1,96\end{array}

最后,我们将数据代入公式并计算比例差异的置信区间:

\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})\pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat{p_1}(1-\widehat{p_1})}{n_1}+\frac{\widehat{p_2}(1-\widehat{p_2})}{n_2}}

\displaystyle (0,083-0,104)\pm 1,96\cdot \sqrt{\frac{0,083\cdot(1-0,083)}{60}+\frac{0,104\cdot(1-0,104)}{67}}

\displaystyle -0,021\pm  0,101

简而言之,问题比例差异的置信区间为:

(-0,122 \ , \ 0,08)

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